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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f=x*exp(-x^2/2)
[/mm]
Berechnen sie tz f das Taylorpolynom T3(f,X0,x) um X0=0. |
Ableitungen:
[mm] f'(x)=exp(-x^2/2)*(-x^2+1)
[/mm]
[mm] f''(x)=exp(-x^2/2)*(x^3-3x)
[/mm]
[mm] f'''(x)=exp(-x^2/2)*(-x^4+6x-3)
[/mm]
f(X0)=0
f'(x0)=1
f''(x0)=0
f'''(X0)=-3
Jetzt die Werte in die Taylorfoemel einsetzten:
T3=f(x0)+[(x-x0)/1!] * [mm] f'(x0)+[(x-x0)^2/2!] [/mm] * [mm] f''(x0)+[(x-x0)^3/3!]*f'''(x0)
[/mm]
= x + 0 + [mm] 0,5x^3
[/mm]
= [mm] 0,5x^3+x
[/mm]
Kann mir das Ergebnis mal bitte jemand bestätigen,danke.
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Hallo!
Dein Taylorpolynom ist fast richtig: Die Koeffizienten has du richtig berechnet, allerdings dann für $f'''(0)$ $3$ statt $-3$ eingesetzt. Das richtige Polynom wäre [mm] $x-\bruch [/mm] 12 [mm] x^3$.
[/mm]
Ein Tipp noch zum Taylorpolynom:
Bei Funktionen, bei denen du die Potenzreihe bereits kennst, kannst du dein Ergebnis leicht selbst überprüfen. Z.B.:
[mm] $x\exp\left(-\bruch {x^2}2\right)=\summe_{n=0}^\infty x\cdot\bruch{\left(-\bruch {x^2}2\right)^n}{n!}=\summe_{n=0}^\infty \bruch{(-1)^n}{n!}\bruch 1{2^n} x^{2n+1}=x-\bruch [/mm] 12 [mm] x^3+\summe_{n=2}^\infty \bruch{(-1)^n}{n!}\bruch 1{2^n} x^{2n+1}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Do 22.12.2005 | | Autor: | scientyst |
Danke für die schnelle Hilfe.
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