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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Do 28.02.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Von der Funktion ist das Taylorpolynom bis zum 3.Grad aufzustellen, x0 = 0 [...]
[mm] $x\to(1+x)^{-1}*(\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2})$
[/mm]
Tip: Ableitung erleichtung wenn ein Faktor über eine Funktion ersetzt wurde! |
Hallo,
also ich kann den Tip nicht ganz folgen :-(
habe bereits rausgefunden das: [mm] $\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2} [/mm] = Sinh(x)$ ist
also habe ich hier : $f(x) = [mm] (1+x)^{-1}*Sinh(x)$ [/mm] bzw. $f(x) = [mm] \bruch{Sinh(x)}{(1+x)}$
[/mm]
aber hier sind ableitungen bis zu der dritten ableitung gesucht... ich habe kaum übersicht nach der ersten ableitung mit denen Regeln die man da anwenden soll.
normale vorgehensweise bei Tylor:
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$ Sinh(0) = 0, Cosh(0) = 1$
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$f(x) = [mm] (1+x)^{-1}*Sinh(x)$ [/mm] $=> f(0) = [mm] (1+0)^{-1}*Sinh(0) [/mm] = 0$
$ f'(x) = [mm] \bruch{(1+x)*Cosh(x) - Sinh(x)}{(1+x)^{2}} [/mm] $ $=> f'(0) = [mm] \bruch{(1+0)*Cosh(0) - Sinh(0)}{(1+0)^{2}} [/mm] =1$
.
.
.
so nun ist unser Prof so vorgegangen mit dem Tipp, bzw. so sollte man den tipp verstehen ....
Grundfunktion: $f(x) = [mm] (1+x)^{-1}*Sinh(x)$ [/mm]
Tylor verlauf
-------------
$(1+x) *f(x) = Sinh(x)$ ; $f'(0) = 0$
$1*f(x) + (1+x)f'(x) = Cosh(x)$ ; $f'(0) = 1$
$2*f'(x) + (1+x)f''(x) = Sinh(x)$ ; $f''(0) = 2$
$3*f''(x) + (1+x)f'''(x) = Cosh(x)$ ; $f'''(0) = 7$
----------------
kann mir einer einen tipp geben was hier gemacht wird ?
aber wie soll das gehen das man der funktion was wegnehmt und dies zwar mathematisch auf die andere bring und sich so vor der ableitung drückt ????
$f(x) = [mm] (1+x)^{-1}*Sinh(x)$ \gdw [/mm] $f(x) [mm] =\bruch{1}{(1+x)}*Sinh(x)$ \gdw [/mm] $(1+x)*f(x) = Sinh(x)$
kann mir bitte einer auf vom schlauch weg helfen ^^?
mfg
masa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Do 28.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] f(x)=(1+x)^{-1}\cdot{}(\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2})= (1+x)^{-1}\cdot{}Sinh(x)
[/mm]
Nun sind die Ableitungen recht unübersichtlich und mühseelig zu berechnen.
Daher hat wohl mal jemand nach leichteren Methoden gesucht und ist fündig geworden.
[mm](1+x)*f(x) = Sinh(x)[/mm]
Ist offensichtlich richtig.
daraus folgt nun :
[mm](1+0)*f(0)=Sinh(0) \Rightarrow f(0)=Sinh(0)=0[/mm]
Ok, das hilft noch nicht so sehr. Aber bei der ersten Ableitung kann man schon erkennen warum es Sinn macht.
Die Gleichung (1+x) *f(x) = Sinh(x) abgeleitet nach x ergibt dann :
[mm]1*f(x)+(1+x)f'(x)=Cosh(x)[/mm] , und somit
[mm]1*f(0)+(1+0)f'(0)=Cosh(0) \Rightarrow f'(0)=Cosh(0)-f(0)=1[/mm]
Nun [mm]1*f(x)+(1+x)f'(x)=Cosh(x)[/mm] wieder nach x ableiten. usw.
Wie du siehst, sind die Ableitungen und Umstellungen allesamt einfacher als vorher.
Rechne mal [mm]f''(0)[/mm] nach.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
danke Zneques, ich muss späta da nochmal ran so ganz klar ist es nicht, aber der ansatz ist das wichtigste 
mfg
masa
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