Taylorpolynom < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:53 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
Ich weiß eigentlich nicht was mit Taylorpolynom gemeint ist und wozu es gut ist. Und erst recht nicht wie man es anwendet.
ich schreibe morgen die letzte Matheklausur meines Lebens. Dafür habe ich gelernt. Leider bin ich nicht sehr gut. Unser Lehrer hat uns gesagt was wir lernen sollen. Das was ich nun unter Aufgabe gestellt habe kann ich gar nicht.
Es wäre cool wenn ihr mir erklären könnt wie man sowas rechnet.
Möglichst mit Beispielzahlen, da ich theoretische Erklärungen wie von Wikipedia oder so meistens nicht verstehe (-: Naja ich bin für jede Hilfe dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Auch hier gilt: bitte bringe uns eine konkrete Aufgabe (die ihr z.B. in der Schule mal gerechnet habt).
So weiß niemand, was er/sie wie erklären bzw. wieso und wo anfangen soll.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:33 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
| Aufgabe | Also wir sollen ein Taylorpolynom´aufstellen können und eine Gerade damit zeichnen können.
Ich habe jetzt mal eine Aufgabe rausgesucht. Hoffe damit geht das:
Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= ((x)/(x-1))+3; x ist ungleich 1.
Bestimmen Sie die Taylorpolynome 1., 2. und 3. Ordnung der Funktion f in der Umgebung von x0= 0.
Und:
Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= (1)/(x-2), x ungleich 2.
Skizzieren Sie die Graphen von f(x) und T2(x) in der Umgebung von x0= 1. |
Ich hoffe an den beiden Aufgaben kann man meine Fragen erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Den entsprechenden ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel zu Taylor-Reihen hast Du bereits selber erwähnt.
Dennoch benötigt man hier jeweils die dort genannte Formel mit:
[mm] $$T_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^k [/mm] \ = \ [mm] f(a)+f'(a)*(x-a)+\bruch{f''(a)}{2!}*(x-a)^2+\bruch{f'''(a)}{3!}*(x-a)^3+...$$
[/mm]
Dafür musst Du aklso nun von Deinen genannten Funktionen die ersten Ableitungen bilden und die entsprechenden Funktionswerte an der Stelle $a \ = \ 0$ (1. Aufgabe) bzw. $a \ = \ 1$ (2. Aufgabe) bilden.
Anschließend dann in o.g. Formel einsetzen.
So, nun bist Du dran mit den Ableitungen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:55 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
Ich habe morgen erst zur 5. Stunde, von daher geht das schon wenn es etwas später wird.
Also bei der Funtkion mit + 3 am Ende war ich mir bei der Ableitung nicht sicher.
Ich habe es jetzt so gemacht:
u= x+3
v= (x-1)+3
u´= 1
v´= 1
für die zweite Funktion:
u=1
v= x-2
u´= 0
v´= 1
Ist das erst mal so okay, oder sind hier bereits Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Ich denke, wir müssten uns erst einmal über die zu untersuchende Funktion einigen ...
Laut Deinen Klammern interpretiere ich Deine Funktion zu:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{x-1}+3$$
[/mm]
Ist das korrekt so?
Damit entfällt beim Ableiten der Term $+3_$ und Du musst nur für [mm] $\bruch{x}{x-1}$ [/mm] die  Quotientenregel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:09 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
ich habe jetzt zu beiden u und v gebildet. und diese auch bereits abgeleitet. wenn diese jetzt stimmen, würde ich sie in die quotientenregel einsetzen. beider wäre jetzt erst für die erste ableitung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Bitte poste, was Du wie und warum rechnest, damit wir das kontrollieren können. Es geht von Deiner Zeit ab (und ich gehe auch bald in die Heia, da ich morgen verreisen darf ... übrigens in Deine Richtung in eine Stadt an der Leine!).
Zudem sollten wir hier auch nur eine Aufgabe behandeln, bevor wir an die 2. Aufgabe gehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:20 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
okay also fangen wir mit der ersten von dir angesprochenen an.
u= x+3
v= (x-1)+3
u´= 1
v´= 1
So habe ich hier u und v und deren erste Ableitung definiert. Wenn das stimmt würde ich das jetzt in die Quotienerenregel einsetzten.
Übrigens wenn du schlafen willst kannst du ruhig ins Bett gehen.Ich kann das hier auch noch mal morgen vor der Schule versuchen oder Leute in der Schule fragen (-;
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ja wir reden über dasselbe.
okay dann bleibt 3 halt weg. dann ist u= x
und v= (x-1).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Soweit okay. Also weiter ...
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | Siehe unter Aufgabe |
Okay als nächstes setze ich die Werte in die Quotientenregel ein:
[mm] \bruch{1*(x-3)-(x*1)}{(x-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{x-3-x}{(x-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-3}{(x-1)^2}
[/mm]
Wäre das als erste Ableitung okay? Oder falsch? Bin mir nicht sicher ob man die Klammern im Zähler nicht hätte ausmultiplizieren müssen. Falls ja, nur kurz sagen, dann mache ich das noch mal so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Di 10.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
> [mm]\bruch{1*(x-3)-(x*1)}{(x-1)^2}[/mm]
Wo - bitte - kommt die 3 her?
> = [mm]\bruch{x-3-x}{(x-1)^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{-3}{(x-1)^2}[/mm]
Prinzipiell hast Du es dann richtig gerechnet.
> Wäre das als erste Ableitung okay? Oder falsch? Bin mir
> nicht sicher ob man die Klammern im Zähler nicht hätte
> ausmultiplizieren müssen. Falls ja, nur kurz sagen, dann
> mache ich das noch mal so.
Doch: Zusammenfassen im Zähler ist absolut richtig. Aber nun bitte nochmal mit den richtigen Zahlenwerten.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:04 Di 10.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
Oh da hab ich mich an dem falschen Werten orietiert.
Noch mal:
[mm] \bruch{1*(-1)-(x*1}{(-1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1-1x}{(-1)^2}
[/mm]
Das wäre dann die erste Ableitung. Diese muss man nun in die erste Formel vom Taylorpolynom einsetzen. Wies das geht weiß ich leider nicht, da ich noch nie was mit dem Taylorpolynom gemacht habe.
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> siehe Anfang
Hallo,
am Anfang sehe ich keine Aufgabe, und da, wo "Aufgabe" steht, sehe ich mehr als eine Aufgabe.
Dies, was Du unten postest, die die Ableitung keiner der beiden dort geposteten Funktionen. (Oder worum geht's jetzt aktuell?)
Gruß v. Angela
> Oh da hab ich mich an dem falschen Werten orietiert.
> Noch mal:
>
> [mm]\bruch{1*(-1)-(x*1}{(-1)^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-1-1x}{(-1)^2}[/mm]
>
> Das wäre dann die erste Ableitung. Diese muss man nun in
> die erste Formel vom Taylorpolynom einsetzen. Wies das geht
> weiß ich leider nicht, da ich noch nie was mit dem
> Taylorpolynom gemacht habe.
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= ((x)/(x-1))+3; x ist ungleich 1.
Bestimmen Sie die Taylorpolynome 1., 2. und 3. Ordnung der Funktion f in der Umgebung von x0= 0.
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Das was ich gepostet habe, soll die erste Ableitung von f(x) sein. Damit wollte ich jetzt gerne das erste Taylorpolynom bilden. Bzw. ich wolle sehen wie man das macht, damit ich die anderen beiden vielleicht alleine hinkriege.
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> Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= ((x)/(x-1))+3; x ist
> ungleich 1.
> Bestimmen Sie die Taylorpolynome 1., 2. und 3. Ordnung der
> Funktion f in der Umgebung von x0= 0.
>
> Das was ich gepostet habe, soll die erste Ableitung von
> f(x) sein.
Aha.
Die 3 fällt ja beim Ableiten weg.
[mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] mußt Du dann mit der Quotientenregel ableiten:
u=x
v=x-1
[mm] f'(x)=(\bruch{u}{v})'=\bruch{v*u'- u*v'}{v^2}.
[/mm]
Nun los!
Erstes Taylorpolynom von f an der Stelle 0 ist:
[mm] T_{f;0}(x)= [/mm] f(0)+ [mm] \bruch{f'(0)}{1!}x
[/mm]
Gruß v. Angela
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hey,
also die erste Ableitung hatte ich ja schon mit der Quotientenregel berechnet.
Dafür kam das raus: $ [mm] \bruch{-1-1x}{(-1)^2} [/mm] $
Ich versuche es jetzt einfach mal einzusetzen:
$ [mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] $ + ...
Hier wäre es jetzt doch sinnvoll mein Ableitungsergebnis, von einem Bruch umszuwandeln, wäre das dann so: (-1-1x)*(-1)^-2
Dann ginge es so wieter:
$ [mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] $ + [mm] \bruch{(-1-1x)*(-1)^-2
}{1!}*x
[/mm]
War jetzt nur ein Versuch. Denke mal nicht das es stimmt.
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> hey,
> also die erste Ableitung hatte ich ja schon mit der
> Quotientenregel berechnet.
>
> Dafür kam das raus: [mm]\bruch{-1-1x}{(-1)^2}[/mm]
Hallo,
sprechen wir beide über [mm] f(x)=\bruch{x}{x-1} [/mm] +3 ?
Wenn ja, dann ist das da oben n i c h t die erste Ableitung.
Die erste Ableitung ist nach der Quotientenregel zu berechnen, die hatte ich Dir doch auch nochmal aufgeschrieben. (?)
>
> Ich versuche es jetzt einfach mal einzusetzen:
>
> [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm] + ...
>
> Hier wäre es jetzt doch sinnvoll mein Ableitungsergebnis,
> von einem Bruch umszuwandeln, wäre das dann so:
> (-1-1x)*(-1)^-2
>
> Dann ginge es so wieter:
>
>
> [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm] [mm] \red{+3}+[/mm] [mm]\bruch{(-1-1x)*(-1)^-2
}{1!}*x[/mm]
>
> War jetzt nur ein Versuch. Denke mal nicht das es stimmt.
Abgesehen davon, daß Deine Ableitung nicht stimmt, ist es fast richtig. Du mußt aber nicht die f(x) und f'(x) einsetzen, sondern f(0) und f'(0).
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:11 Di 10.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
Achso okay so wíst das gemeint.
Also dann ginge das so:
(-1+3)+ [mm] \bruch{(-1)*(-1)^-2}{1!}
[/mm]
= 2+ [mm] \bruch{1^-2}{1!}
[/mm]
Wäre das das erste Taylorpolynom?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Di 10.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Liest Du Dir die Antworten eigentlich durch (sei es aufmerksam oder überhaupt)?
Hier hat dir Angela die Formel bereits genannt (so wie ich auch schon gestern).
Nun wende dies mal entsprechend an!
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | siehe Aufgabe 2. Mal |
Eben grad war es ja angeblich schon fast richtig. Bis auf das ich für x= 0 hätte einsetzen müssen. Das habe ich hier gemacht. Und das was ich aufgeschrieben habe ist das Ergebnis davon. Ich verstehe nicht was an dieser Formel jetzt so falsch interpretiert sein soll. Die 3 habe ich ja dann noch mit aufgenommen und bei der Ableitung fällt sie ja weg.
Es kann doch jetzt nicht auf einmal alles falsch sein, wenn es ebnegrade noch fast richtig war.
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> siehe Aufgabe 2. Mal
> Eben grad war es ja angeblich schon fast richtig. Bis auf
> das ich für x= 0 hätte einsetzen müssen. Das habe ich hier
> gemacht. Und das was ich aufgeschrieben habe ist das
> Ergebnis davon. Ich verstehe nicht was an dieser Formel
> jetzt so falsch interpretiert sein soll. Die 3 habe ich ja
> dann noch mit aufgenommen und bei der Ableitung fällt sie
> ja weg.
> Es kann doch jetzt nicht auf einmal alles falsch sein,
> wenn es ebnegrade noch fast richtig war.
Hallo,
ein bißchen frustrierend ist das hier ja schon... Das Antworten kostet durchaus Zeit, die geben wir freiwillig und gern. Bloß wenn's dann nicht richtig gelesen wird...
Ich hoffe nicht, daß ich geschrieben habe, daß Du überall für x=1 einsetzen sollst. ich erinnere mich an f(0) und f'(0) oder etwas damit Gleichwertiges.
(Daß ja die Ableitung überhaupt nicht stimmte, hast Du auch noch im Hinterkopf, ja? Aber im Moment geht's ja eher ums Prinzip.)
Gruß v. Angela
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Ich denke schon das ich das lese. Also wenn man f(x) schriebt und dann für x dort etwas anderes einsetzt, dann bedeutet das, dass man das in der funktion übernimmt. Das bedeutet also das ich alle x in der gelichung von f(x)und f(x)´ = 0 setzen muss.Das sind doch Grundsatzsachen, und ich verstehe nicht wo hier dann der Fehler sein soll. Gut was ich falsch gemacht habe ist, das ich am Ende der Taylorfunktion das * x auch gleich 0 gesetzt habe. Also müsste hinter die von mir bereits geschriebene Lösung noch * X. Ansonsten entdecke ich dort keinen Fehler und kann das hier wirklich nicht nachvollziehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Di 10.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Dann poste doch einfach mal Deine fertige und vollständige Lösung.
Ich bin gespannt ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 10.03.2009 | | Autor: | Julia1988 |
Ich hatte doch angegeben was ich für die erste Ordnung oder wie sich das nennt raus habe:
2 + $ [mm] \bruch{1^-2}{1!} [/mm] $ *x
Die anderen würden ja dann mit den entsprechenden Ableitungen analog gehen.
gut das * x hatte ich vergessen (-:
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 10.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Du hast eben selber geschrieben, dass an einige Werte so etwas wie z.B. $*x_$ gehört.
Wo finde ich das in Deiner aktuellen Version der vermeintlichen Lösung? Dann kann das also auch keine Lösung sein.
Gruß
Loddar
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> sGut
> was ich falsch gemacht habe ist, das ich am Ende der
> Taylorfunktion das * x auch gleich 0 gesetzt habe. Also
> müsste hinter die von mir bereits geschriebene Lösung noch
> * X.
Hallo,
ja.
Und dieser Unterschied, der Dir vielleicht wie ein läppischer Flüchtigkeitsfehler vorkommen mag, ist äußerst gravierend.
Es ist nämlich u.a. der Unterschied zwischen einem aufgestellen Taylorpolynom und einem nicht vorhandenen Taylorpolynom.
Wenn Dir in der Klausur bei der Rechnung ein Rechenfehler unterläuft, ist das nicht schlimm, aber wenn am Ende überhaupt kein Taylorpolynom dasteht, dann schon.
Merke also: ein n-tes Taylorrpolynom im Punkt 0 muß immer so aussehen: [mm] T_{0} [/mm] : [mm] ...+...*x+...*x^2+ [/mm] ... [mm] +...*x^n
[/mm]
Gruß v. Angela
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