Taylorpolynom 5. Grades < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 13.09.2009 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(x) = x*e^{- x^2=}[/mm] . Dann ist das Taylor-Polynom vom Grad 5 von f um 0 gegeben
durch T5(x, 0) = ??? |
Ich verstehe nicht wie ich hierbei weiterkommen soll. Ich schreibe mal kurz auf wie weit ich bin. Um das Taylorpolynom 5.ten Grades zu entwickeln brauch ich zumindest mal die ersten 5 Ableitungen, die da wären:
[mm] f'(x) = -2x*e^{-x^2};
f''(x)= 4x*e^{-x^2};
f'''(x)= -8x*e^{-x^2};
f^{(4)}(x)= 16x*e^{-x^2};
f^{(5)}(x)= -32x*e^{-x^2} [/mm]
Also bilden sich doch die Koeffizienten nach dem Bildungsgesetz [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-2)^n*x}{e^{x^2}} [/mm]
und da hörts bei mir auf. Was fange ich jetzt damit an. Wenn ich die Berechnungen und Herleitungen bishierhin überhaupt richtig gemacht habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 13.09.2009 | | Autor: | Reen1205 |
[mm] f'(x) = e^{-x^2} (1-2x^2)
f''(x) = e^{-x^2}(4x^3-6x)
f'''(x) = e^{-x^2} (-8x^4+24x^2-6)
f^{(4)} = e^{-x^2}(16x^5+80x^3+60x)
f^{(5)} = e^{-x^2} (-32x^6+240x^4-360x^2+60)[/mm]
so damit ergibt sich für die Taylor Formel 5.ten Grades jenes hier:
[mm] $ T_5(x,0)=\sum\limits_{n=0}^5\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n $ = 0*x^0+\bruch{x^1}{1} + 0 + \bruch{-6x^3}{6} + 0 + \bruch {60x^5}{120} [/mm]
Und das wäre dann das einzutragende Ergebnis?
Wie würd ich denn auf die allgemeine Form, also $ [mm] T_n(x,0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n [/mm] $ kommen, wahrscheinlich wird es irgendwas mit
[mm]
$ T_n(x,0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\bruch{x^{2n}}{n!}*(-1)^n $ [/mm] sein?
Also wenn ich das jetzt richtig hab, dann raste ich vollkommen aus. Dann ist Mathe ja gar nicht so schwer wie immer alle sagen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 13.09.2009 | | Autor: | Reen1205 |
> [mm]
$ T_n(x,0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\bruch{x^{2n}}{n!}*(-1)^n $[/mm]
> sein?
stop, aber irgendwo fehlt mir da noch ein x oder?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 13.09.2009 | | Autor: | Reen1205 |
Jetzt ist außerdem nach dem Konvergenzradius gefragt. Dafür benötige ich dann doch die allgemeine Form oder nicht?
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Hallo nochmal,
> Jetzt ist außerdem nach dem Konvergenzradius gefragt.
> Dafür benötige ich dann doch die allgemeine Form oder
> nicht?
Ja, dazu benötigst du die Taylorreihe.
Überlege dir, wie denn die n-te Ableitung an der Stelle 0 allg. aussieht (Beweis dann durch vollst. Induktion)
Alternativ mache dir die (bereits bekannte ?) Reihendarstellung von [mm] $e^z$ [/mm] zunutze:
[mm] $e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot{}z^n$ [/mm] für alle z
Also [mm] $e^{-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot{}(-x^2)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\cdot{}x^{2n}$
[/mm]
Damit dann [mm] $f(x)=x\cdot{}e^{-x^2}=x\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\cdot{}x^{2n}=...$
[/mm]
Wenn die Reihe dann steht, kannst du ihren Konvergenzradius berechnen ...
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
die da wären:
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
, die Formel ist doch [mm] $T_5(x,0)=\sum\limits_{n=0}^5\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n$
[/mm]