Taylorpolynome bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Do 16.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die Taylorpolynome
a) f(x) = e^(-3x) * cos(1x - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] , [mm] x\in \IR
[/mm]
Berechne Taylorpolynom [mm] P_2 [/mm] von f an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] |
| Aufgabe 2 | b) [mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2 * e^(-4/x), & \mbox:x>0 \\
0, & \mbox:x\le0
\end{matrix}\right.
[/mm]
Berechne Taylorpolynom [mm] P_1 [/mm] von f an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] |
Hi zusammen,
habe hier Probleme mit der Lösung der Aufgabe.
Ich zeige mal wie weit ich gekommen bin.
zu a)
Zunächst leite ich f(x) zweimal ab.
f´(x) = -3e^(-3x) * cos(1x - [mm] \pi/4) [/mm] + e^(-3x) * (-sin(1x - [mm] \pi/4))
[/mm]
f``(x) = 9e^(-3x) * cos(1x - [mm] \pi/4) [/mm] + (-3e^(-3x)) * (-sin(1x - [mm] \pi/4)) [/mm] + (-3e^(-3x)) * (-sin(1x - [mm] \pi/4)) [/mm] + e^(-3x) * (-cos(1x - [mm] \pi/4))
[/mm]
f(0) = 0,999906
f´(0) = -2,986011
f´´(0) = 7,917004
[mm] P_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{f(0)}{0!} [/mm] * [mm] (x-0)^0 [/mm] + [mm] \bruch{f´(0)}{1!} [/mm] * [mm] (x-0)^1 [/mm] + [mm] \bruch{f´´(0)}{2!} [/mm] * [mm] (x-0)^2
[/mm]
= [mm] \bruch{0,999906}{1} [/mm] * [mm] x^0 [/mm] + [mm] \bruch{-2,986011}{1} [/mm] * [mm] x^1 [/mm] + [mm] \bruch{7,917004}{2} [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
= 0,999906 - 2,986011x + [mm] 3,958502x^2
[/mm]
zu b)
Eine solche Aufgabe habe ich noch nicht gesehen. Bedeutet es das bei [mm] x\le0 [/mm] f(x) = 0 ist und damit ja dann auch das Taylorpolynom ?
für x>0 habe ich folgende gemacht:
f´(x) = 2x * e^(-4/x) + [mm] x^2 [/mm] * [mm] \bruch{4e^(-4/x)}{x^2}
[/mm]
f(0) = 0
f´(0) = 0
[mm] P_1(x) [/mm] = [mm] \bruch{f(0)}{0!} [/mm] * [mm] (x-0)^0 [/mm] + [mm] \bruch{f´(0)}{1!} [/mm] * [mm] (x-0)^1
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{1} [/mm] * [mm] x^0 [/mm] + [mm] \bruch{0}{1} [/mm] * [mm] x^1 [/mm] = 0 + 0 = 0
Denke mal das vor allem b) nicht richtig sein kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Taylorpolynome
> a) f(x) = e^(-3x) * cos(1x - [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm] , [mm]x\in \IR[/mm]
>
> Berechne Taylorpolynom [mm]P_2[/mm] von f an der Stelle [mm]x_0=0[/mm]
> b) [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2 * e^(-4/x), & \mbox:x>0 \\
0, & \mbox:x\le0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Berechne Taylorpolynom [mm]P_1[/mm] von f an der Stelle [mm]x_0=0[/mm]
> Hi zusammen,
> habe hier Probleme mit der Lösung der Aufgabe.
> Ich zeige mal wie weit ich gekommen bin.
>
> zu a)
> Zunächst leite ich f(x) zweimal ab.
> f´(x) = -3e^(-3x) * cos(1x - [mm]\pi/4)[/mm] + e^(-3x) * (-sin(1x
> - [mm]\pi/4))[/mm]
> f''(x) = 9e^(-3x) * cos(1x - [mm]\pi/4)[/mm] + (-3e^(-3x)) *
> (-sin(1x - [mm]\pi/4))[/mm] + (-3e^(-3x)) * (-sin(1x - [mm]\pi/4))[/mm] +
> e^(-3x) * (-cos(1x - [mm]\pi/4))[/mm]
>
> f(0) = 0,999906
> f´(0) = -2,986011
> f´´(0) = 7,917004
Diese Werte stimmen nicht ! Lass die bescheuerten Dezimalzahlen und schlage die Werte von [mm] cos(\pi/4) [/mm] und [mm] sin(\pi/4) [/mm] nach.
>
> [mm]P_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f(0)}{0!}[/mm] * [mm](x-0)^0[/mm] + [mm]\bruch{f´(0)}{1!}[/mm] *
> [mm](x-0)^1[/mm] + [mm]\bruch{f´´(0)}{2!}[/mm] * [mm](x-0)^2[/mm]
> = [mm]\bruch{0,999906}{1}[/mm] * [mm]x^0[/mm] + [mm]\bruch{-2,986011}{1}[/mm] * [mm]x^1[/mm] +
> [mm]\bruch{7,917004}{2}[/mm] * [mm]x^2[/mm]
> = 0,999906 - 2,986011x + [mm]3,958502x^2[/mm]
>
> zu b)
> Eine solche Aufgabe habe ich noch nicht gesehen. Bedeutet
> es das bei [mm]x\le0[/mm] f(x) = 0
Ja, für jedes x [mm] \le [/mm] 0 ist f(x)=0.
> ist und damit ja dann auch das
> Taylorpolynom ?
Rechnen wirs mal aus !
>
> für x>0 habe ich folgende gemacht:
> f´(x) = 2x * e^(-4/x) + [mm]x^2[/mm] * [mm]\bruch{4e^(-4/x)}{x^2}[/mm]
Wozu ?
>
> f(0) = 0
O.K.
> f´(0) = 0
Wie bist Du darauf gekommen ????
Berechne [mm] \limes_{x \rightarrow 0+0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] und [mm] \limes_{x \rightarrow 0-0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
Wenn diese beiden Grenzwerte existieren und übereinstimmen, so ist f in 0 differenzierbar und
f'(0)= [mm] \limes_{x \rightarrow 0+0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}.
[/mm]
>
> [mm]P_1(x)[/mm] = [mm]\bruch{f(0)}{0!}[/mm] * [mm](x-0)^0[/mm] + [mm]\bruch{f´(0)}{1!}[/mm] *
> [mm](x-0)^1[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{1}[/mm] * [mm]x^0[/mm] + [mm]\bruch{0}{1}[/mm] * [mm]x^1[/mm] = 0 + 0 = 0
>
> Denke mal das vor allem b) nicht richtig sein kann.
Doch das Ergebnis stimmt. Schreibe den Weg suber auf.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 16.01.2014 | | Autor: | Bindl |
zu a)
meine "neuen" Werte:
f(0) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
f´(0) = [mm] -2*\wurzel{2}
[/mm]
f''(0) = [mm] 7*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] P_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1/\wurzel{2}}{1} [/mm] * [mm] x^0 [/mm] + [mm] \bruch{-2*\wurzel{2}}{1} [/mm] * [mm] x^1 [/mm] + [mm] \bruch{7*\wurzel{7}}{2} [/mm] * [mm] x^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] - [mm] 2*\wurzel{2}x [/mm] + [mm] \bruch{7}{\wurzel{2}}x^2
[/mm]
Ist das jetzt richtig ?
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Hallo,
> zu a)
> meine "neuen" Werte:
>
> f(0) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f´(0) = [mm]-2*\wurzel{2}[/mm]
Nicht eher [mm] $-2/\sqrt [/mm] 2$ ? Oder anders [mm] $-\sqrt [/mm] 2$?
> f''(0) = [mm]7*\wurzel{2}[/mm]
Da habe ich auch was anderes.
Rechne mal vor ...
Fasse vllt. vorher mal deine Ableitungen zusammen ....
>
> [mm]P_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{1/\wurzel{2}}{1}[/mm] * [mm]x^0[/mm] +
> [mm]\bruch{-2*\wurzel{2}}{1}[/mm] * [mm]x^1[/mm] + [mm]\bruch{7*\wurzel{7}}{2}[/mm] *
> [mm]x^2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] - [mm]2*\wurzel{2}x[/mm] +
> [mm]\bruch{7}{\wurzel{2}}x^2[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig ?
Nein ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 16.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Also,
f(0) = [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] ist ja richtig
f´(0) = (-3) * [mm] cos(-\pi/4) [/mm] + 1 * [mm] (-sin(-\pi/4)) [/mm] = (-3) * [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] - [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] = [mm] -4/\wurzel{2} [/mm] = [mm] -2\wurzel{2}
[/mm]
f``(0) = 9 * [mm] cos(-\pi/4) [/mm] + (-3) * [mm] (-sin(-\pi/4)) [/mm] + (-3) * [mm] (-sin(-\pi/4)) [/mm] + 1 * [mm] (-cos(-\pi/4)) [/mm] = [mm] 8cos(-\pi/4) [/mm] + [mm] 6sin(-\pi/4) [/mm] = [mm] 8*(1/\wurzel{2}) [/mm] + [mm] 6*(1/\wurzel{2}) [/mm] = [mm] 14/\wurzel{2} [/mm] = [mm] 7\wurzel{2}
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also,
> f(0) = [mm]1/\wurzel{2}[/mm] ist ja richtig
>
> f´(0) = (-3) * [mm]cos(-\pi/4)[/mm] + 1 * [mm](-sin(-\pi/4))[/mm] = (-3) *
> [mm](1/\wurzel{2})[/mm] - [mm](1/\wurzel{2})[/mm] = [mm]-4/\wurzel{2}[/mm] =
> [mm]-2\wurzel{2}[/mm]
>
> f''(0) = 9 * [mm]cos(-\pi/4)[/mm] + (-3) * [mm](-sin(-\pi/4))[/mm] + (-3) *
> [mm](-sin(-\pi/4))[/mm] + 1 * [mm](-cos(-\pi/4))[/mm] = [mm]8cos(-\pi/4)[/mm] +
> [mm]6sin(-\pi/4)[/mm] = [mm]8*(1/\wurzel{2})[/mm] + [mm]6*(1/\wurzel{2})[/mm] =
> [mm]14/\wurzel{2}[/mm] = [mm]7\wurzel{2}[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht ?
[mm] sin(-\pi/4)=-sin(\pi/4), [/mm] also [mm] -sin(-\pi/4)=sin(\pi/4)
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 16.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
f´(0) = (-3) * [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] + [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] = [mm] -2/\wurzel{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{2}
[/mm]
f´´(0) = [mm] 9cos(-\pi/4) [/mm] + (-3) * [mm] sin(\pi/4) [/mm] + (-3) * [mm] sin(\pi/4) [/mm] + [mm] cos(\pi/4)
[/mm]
= 9 * [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] - 6 * [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] + [mm] (1/\wurzel{2}) [/mm] = [mm] 4/\wurzel{2} [/mm] = [mm] 2\wurzel{2}
[/mm]
Habe ich deinen Tipp jetzt richtig angewendet ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Fr 17.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
>
> f´(0) = (-3) * [mm](1/\wurzel{2})[/mm] + [mm](1/\wurzel{2})[/mm] =
> [mm]-2/\wurzel{2}[/mm] = [mm]-\wurzel{2}[/mm]
>
> f´´(0) = [mm]9cos(-\pi/4)[/mm] + (-3) * [mm]sin(\pi/4)[/mm] + (-3) *
> [mm]sin(\pi/4)[/mm] + [mm]cos(\pi/4)[/mm]
Da habe ich ein Minuszeichen vor dem letzten cos also $f'(x) = [mm] \ldots -e^{-3x}\cos(x-\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
Es wurde [mm] $-e^{-3x}\sin(x-\bruch{\pi}{4})$ [/mm] mit der Produktregel abgeleitet. Beim Ableiten des sin entsteht kein Minuszeichen.
>
> = 9 * [mm](1/\wurzel{2})[/mm] - 6 * [mm](1/\wurzel{2})[/mm] + [mm](1/\wurzel{2})[/mm]
> = [mm]4/\wurzel{2}[/mm] = [mm]2\wurzel{2}[/mm]
>
> Habe ich deinen Tipp jetzt richtig angewendet ?
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