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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie die Taylorreihe von:
$f(x)=ln(x)$ mit $ D(f)= \IR$ um den Entwiklungspunkt 1.
Für welche x konvergiert die Taylorreihte und für welche x konvergiert sie gegen f? |
$f^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\bruch{1}{x^{n}$
$T_{k}(x,1)= \summe_{n=1}^{k}\bruch{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^{n}$
Klar die Reihe konvergiert für $x \in(0,2)$ weil sie wegen $|a_n|=\bruch{1}{n}$ den konvergenzradius 1 hat.
Habe aber Probleme das Restglied Abzuschätzen für $x \in(0,x_{0})$ mit $x_0=1$
schonmal Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechnen Sie die Taylorreihe von:
> [mm]f(x)=ln(x)[/mm] mit [mm]D(f)= \IR[/mm] um den Entwiklungspunkt 1.
>
> Für welche x konvergiert die Taylorreihte und für welche x
> konvergiert sie gegen f?
> [mm]f^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\bruch{1}{x^{n}[/mm]
... fuer $n > 0$.
> [mm]T_{k}(x,1)= \summe_{n=1}^{k}\bruch{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^{n}[/mm]
>
> Klar die Reihe konvergiert für [mm]x \in(0,2)[/mm] weil sie wegen
> [mm]|a_n|=\bruch{1}{n}[/mm] den konvergenzradius 1 hat.
Genau.
> Habe aber Probleme das Restglied Abzuschätzen für [mm]x \in(0,x_{0})[/mm]
> mit [mm]x_0=1[/mm]
Nun, sei ein $x [mm] \in [/mm] (0, 1)$ fest gewaehlt. Dann ist das Restglied immer von der Form [mm] $\bruch{(-1)^k}{k+1}(\xi_k-1)^{k+1}$ [/mm] mit $x < [mm] \xi_k [/mm] < 1$. Nun ist [mm] $|(\xi_k [/mm] - [mm] 1)^{k+1}| [/mm] = [mm] |\xi_k [/mm] - [mm] 1|^{k+1} \le [/mm] 1$, womit [mm] $\left| \bruch{(-1)^k}{k+1}(\xi_k-1)^{k+1} \right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{(\xi_k-1)^{k+1}}{k+1}\right| \le \frac{1}{k+1}$ [/mm] ist.
Hilft dir das?
LG Felix
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Eigentlich klar:
Wenn ich das richtig verstanden habe muss es nur Punktweise konvergent sein?
Mein Problem ist das ich es für mich in eine Form bringen muss die ich reproduzieren kann. (z.B in ner Klausur)
Normalerweise benutze ich die Restgliedformel von Lagrange:
[mm] $R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
[/mm]
also:
[mm] $R_n(x)= (-1)^{n}\bruch{1}{n}\bruch{1}{\xi^{n+1}}(x-1)^{n+1} [/mm] $ mit [mm] $\xi \in(x,x_0)$ [/mm] in dem fall [mm] $\xi \in(x,1)$
[/mm]
in dem fall sollte [mm] $|R_n(x)|$ [/mm] reichen:
für $0<x<1$ gillt:
[mm] $|R_n(x)|= \bruch{1}{n}\bruch{1}{\xi^{n+1}}|x-1|^{n+1} \le \bruch{1}{n}\left(\bruch{|x-1|}{x}\right)^{n+1} \le \bruch{1}{n}$
[/mm]
weil [mm] $\bruch{|x-1|}{x}=1-\bruch{1}{|x|}\le1$
[/mm]
Ja habs jetzt kapiert.
Wäre cool wenn du mir irgedwie verdeutlichen könntest warum ich ein festes x wählen kann (ohne mich mit Definitionen Totzuschlagen)
mfg Peanut
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 11.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Eigentlich klar:
> Wenn ich das richtig verstanden habe muss es nur
> Punktweise konvergent sein?
Genau.
Wobei das hier sogar noch viel besser ist: Die Taylorreihe konvergiert lokal gleichmaessig, d.h. zu jedem Punkt $x$ im Konvergenzintervall gibt es eine Umgebung $U(x)$ von $x$, auf der die Reihe gleichmaessig gegen die Zielfunktion konvergiert.
Global (also auf dem ganzen Konvergenzintervall) konvergiert die Reihe hier allerdings nicht.
> Mein Problem ist das ich es für mich in eine Form bringen
> muss die ich reproduzieren kann. (z.B in ner Klausur)
>
> Normalerweise benutze ich die Restgliedformel von
> Lagrange:
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^(n+1)[/mm]
>
> also:
> [mm]R_n(x)= (-1)^{n}\bruch{1}{n}\bruch{1}{\xi^{n+1}}(x-1)^{n+1}[/mm]
> mit [mm]\xi \in(x,x_0)[/mm] in dem fall [mm]\xi \in(x,1)[/mm]
Muss es nicht [mm] $\frac{...}{n + 1}$ [/mm] sein?
> in dem fall sollte [mm]|R_n(x)|[/mm] reichen:
> für [mm]0
> [mm]|R_n(x)|= \bruch{1}{n}\bruch{1}{\xi^{n+1}}|x-1|^{n+1} \le \bruch{1}{n}\left(\bruch{|x-1|}{x}\right)^{n+1} \le \bruch{1}{n}[/mm]
>
> weil [mm]\bruch{|x-1|}{x}=1-\bruch{1}{|x|}\le1[/mm]
>
>
> Ja habs jetzt kapiert.
Gut 
> Wäre cool wenn du mir irgedwie verdeutlichen könntest warum
> ich ein festes x wählen kann (ohne mich mit Definitionen
> Totzuschlagen)
Du willst ja zeigen, dass es punktweise konvergiert. Also nimmst du dir einen Punkt, und schaust dir die Folge der Teilsummen der Reihe (das sind Funktionen), ausgewertet in dem Punkt (danach sind es Zahlen), womit du eine Folge hast. Und deren Konvergenz folgt gerade aus dem Verschwinden des Restgliedes fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Reicht dir das an Erklaerung?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Mr.Peanut |
ja muss 1/(1+n) sein.
Habs kapiert.
Danke für deine mühen.
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