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| Aufgabe | | Enwicklen Sie f(x)= ln( [mm] \bruch{x}{e^{2x}}) [/mm] für [mm] x_{0} [/mm] = 1 in einer Taylorreihe. Wie lässt sich die gesuchte Reihe aus der Reihe für ln(x+1) herleiten? |
Ahoi Matheraum,
und wieder suche ich euch mit einer Frage zur einer Taylorriehe auf.
ich beginne wie es die Formel fordert die ableitungen zu Bilden und setzte diese in die Formel ein.
Ich erhalte folgendes:
f(x)=-2- [mm] \bruch{1}{1!}*(x-1)- \bruch{1}{2!}*(x-1)²+ \bruch{2}{3!}*(x-1)³- \bruch{6}{4!}*(x-1)^{4}+ \bruch{24}{5!}*(x-1)^{5}
[/mm]
nun ist wieder mein Problem das zu einer Summe zusammen zufassen. Kann mir das mal einer Stück für Stück erklären?
liebe Grüße zaaaaaaaq
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Do 08.06.2006 | | Autor: | zaaaaaaaq |
Vielleicht versteht ihr auch nicht mein problem und zwar folgendes: Ich möchte wissen wie ich von dem Schritt den ich da oben geschrieben habe auf folgendes Ergebnisse komme:
f(x)=-2-(x-1)+ [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} (x-1)^{k}
[/mm]
liebe Grüße zaaaaaaaq
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 08.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Enwicklen Sie f(x)= ln( [mm]\bruch{x}{e^{2x}})[/mm] für [mm]x_{0}[/mm] = 1
> in einer Taylorreihe. Wie lässt sich die gesuchte Reihe aus
> der Reihe für ln(x+1) herleiten?
> Ahoi Matheraum,
>
> und wieder suche ich euch mit einer Frage zur einer
> Taylorriehe auf.
>
> ich beginne wie es die Formel fordert die ableitungen zu
> Bilden und setzte diese in die Formel ein.
> Ich erhalte folgendes:
>
> f(x)=-2- [mm]\bruch{1}{1!}*(x-1)- \bruch{1}{2!}*(x-1)²+ \bruch{2}{3!}*(x-1)³- \bruch{6}{4!}*(x-1)^{4}+ \bruch{24}{5!}*(x-1)^{5}[/mm]
>
>
Nun ja:
-2- [mm] \bruch{1}{1!}*(x-1)- \bruch{1}{2!}*(x-1)²+ \bruch{2}{3!}*(x-1)³- \bruch{6}{4!}*(x-1)^{4}+ \bruch{24}{5!}*(x-1)^{5} [/mm] +....
soll zusammengefasst werden
So, und wie du ja siehst, erhöht sich ab k = 2 die Fakultät im Nenner jeweils um eins, genauso, wie der Exponent bei (x-1). Da die Terme mit geraden Exponenten abgezogen werden sollen, die mit ungeraden aber addiert, muss ich irgendwie eine Formel dafür finden. [mm] (-1)^{k-1} [/mm] tut genau das. Es wird für gerade k zu -1 und für ungerade k zu +1.
Nun kann man sehen, dass die Zahl im Zähler des Bruchs an einer Stelle k genau (k-1)! ist.
Jetzt kann ich die Terme mit Hilfe des Summenzeichens zusammenfassen, und zwar wie in der Zusätzlichen Mitteilung geschehen.
Also gilt: -2- [mm] \bruch{1}{1!}*(x-1)- \bruch{1}{2!}*(x-1)²+ \bruch{2}{3!}*(x-1)³- \bruch{6}{4!}*(x-1)^{4}+ \bruch{24}{5!}*(x-1)^{5} [/mm] + ....
= -2 -(x-1) + [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1} * (k-1)!}{k} (x-1)^{k} [/mm] .
ACHTUNG: Die Summe fängt bei k = 2 an.
Gruss
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Fr 09.06.2006 | | Autor: | zaaaaaaaq |
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung.
Grüße zaaaaaaaq
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