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| Aufgabe | Bestimmen Sie die taylor-Entwicklung mit Entw.Zentrum [mm] x_0 [/mm] = 0 der Funktion definiert durch
[mm]f(x) = \bruch{1}{(1+x)^{4}}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich habe diese Funktion zunächst sukzessiv differenziert, dadurch erhalte ich:
[mm]f(x) = \bruch{1}{(1+x)^{4}}[/mm]
[mm]f^{1}(x) = \bruch{-4}{(1+x)^{5}}[/mm]
[mm]f^{2}(x) = \bruch{20}{(1+x)^{6}}[/mm]
[mm]f^{3}(x) = \bruch{-120}{(1+x)^{7}}[/mm]
[mm]f^{5}(x) = \bruch{840}{(1+x)^{8}}[/mm]
u.s.w.
Dadurch erhalte ich die taylorreihe:
[mm]
T(x) = 1
- \bruch{4}{1!}
+ \bruch{20}{2!}
- \bruch{120}{3!}
+ \bruch{840}{4!}
+ \ldots
[/mm]
soweit sogut, allerding liefert mir diese Reihe falsche werte.
beispiel:
[mm]F(0,1) = 0,683[/mm]
[mm]T(0,1) = 5,9[/mm]
wo ist mein Fehler?
gruß, phil.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phil-Andre!
Deine Ableitungen und entsprechenden Werte sind richtig.
Jedoch hast Du bei der Taylor-Reihe die einzelnen x-Potenzen vergessen:
$T(x) = 1 - [mm] \bruch{4}{1!}*\red{x}+ \bruch{20}{2!}*\red{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{120}{3!}*\red{x^3} [/mm] + [mm] \bruch{840}{4!}*\red{x^4}+ \ldots$
[/mm]
Damit erhalte ich dann auch übereinstimmende Werte bei $F(0.1)_$ und $T(0.1)_$ .
Gruß
Loddar
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Ja schlag mich, ich depp. Danke!
Naja gut also ich habe also die Taylorreihe bestimmt.
Der nächste Schritt ist nun die Berechnung den Konvergenzradius.
Die berechnung selbst habe ich verstanden,
aber brauche ich dafür nicht eine allgemeingültige ableitung? also[mm] f^{n}(x) ?[/mm]
Oder muss ich den Konvergenzradius von meiner ursprungsfunktion f(x) berechnen ?
EDIT:
Ah ich glaube eben habe ichs gesehen.
Ich kann die Ableitung durch
[mm]
f^{(n)}(0) = (-1)^{n} \cdot \bruch{(n+3)!}{3!}
[/mm]
Das kann ich ja dann super in meine Taylorreihe einsetzen und davon wiederung meinen Konvergenzradius bilden.
Die lösung hab ich inzwischen auch hinbekommen.
Aber gibts zum finden dieser allgemeingültigen Ableitung ne gute möglichkeit der herangehensweise. Es ist ja eher zufall das einfach so zu sehen, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 30.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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