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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich soll hier in einer Aufgabe von folgender Funktion die Ableitung n-ter Ordnung berechnen, weiss aber nicht genau mal wieder wie vorzugehen ist:
[mm] f:(-\bruch{b}{a},\infty)\to\IR: x\mapsto [/mm] f(x)= ln(ax+b), a,b >0
bitte um Tipps!
lg Surfer
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Vorgehen:
1. Funktion ein paar mal ableiten
2. Die Ableitungen möglichst vom Aussehen her "synchronisieren", d.h. möglichst gleich aussehen lassen, damit 3. besser geht.
3. Vermutung finden
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1. & 2.
[mm]f(x) = \ln(a*x+b)[/mm]
[mm]f'(x) = \bruch{1}{a*x+b}*a = a*\bruch{1}{a*x+b}[/mm]
[mm]f''(x) = a*(-1)*\bruch{1}{\left(a*x+b\right)^{2}}*a = (-1)*a^{2}*\bruch{1}{\left(a*x+b\right)^{2}}[/mm]
[mm]f'''(x) = (-1)*a^{2}*(-2)*\bruch{1}{\left(a*x+b\right)^{3}}*a = 2*a^{3}\bruch{1}{\left(a*x+b\right)^{3}}[/mm]
[mm]f''''(x) = 2*a^{3}*(-3)*\bruch{1}{\left(a*x+b\right)^{4}}*a = -6*a^{4}\bruch{1}{\left(a*x+b\right)^{4}}[/mm]
...
3. überlasse ich dir! Mit obigen Beispielen dürfte es nicht schwer sein, eine allgemeine Formel für die n-te Ableitung zu finden!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:14 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also der hintere Teil ist klar [mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(ax+b)^{n}}
[/mm]
aber wie die Zahlen davor auszudrücken sind ist mir unklar!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Di 27.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Surfer,
wie lautet denn die nächste und übernächste Ableitung?
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
die nächsten beiden lauten:
[mm] f^{5}(x) [/mm] = [mm] 24a^{5}* \bruch{1}{(ax+b)^{5}}
[/mm]
[mm] f^{6}(x) [/mm] = [mm] -120a^{6}* \bruch{1}{(ax+b)^{6}}
[/mm]
?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 27.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo
und genau ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
das hier ist der Vorgänger*4
> [mm]f^{5}(x)[/mm] = [mm]\red{24}a^{5}* \bruch{1}{(ax+b)^{5}}[/mm]
und das ist der Vorgänger*5
> [mm]f^{6}(x)= -\red{120}a^{6}* \bruch{1}{(ax+b)^{6}}[/mm]
hinzukommt die alternierende 1 --> [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
ok?
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also lautet die n-te Ableitung:
[mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*(n-1)*a^{n}*\bruch{1}{(ax+b)^{n}}
[/mm]
oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 27.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
nein, damit erwischt du nur das augenblickliche n-1 (also nur den Vorgänger), aber nicht mehr die davor und das n. Nimm die Fakultätsfunktion f(n)=n!
f(0)=1
f(1)=1
f(2)=1*2
f(3)=1*2*3
.
.
.
f(n)=1*2*3*...*(n-1)*n
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ok also nochmal, dann heißt die n-te Ableitung:
[mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*n!*a^{n}*\bruch{1}{(ax+b)^{n}}
[/mm]
jetzt stimmts hoffentlich?
lg und danke für deine Mühe
Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 27.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
hab ich nix gegen einzuwenden 
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Wie ist es den dann mit dem bestimmen der Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0 kann es sein, dass dies dann [mm] f^{n}(0) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*n!*\bruch{a^{n}}{b^{n}}
[/mm]
ist?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Wie ist es den dann mit dem bestimmen der Taylorreihe um
> den Entwicklungspunkt 0 kann es sein, dass dies dann
> [mm]f^{n}(0)[/mm] = [mm](-1)^{n+1}*n!*\bruch{a^{n}}{b^{n}}[/mm]
> ist?
Es spricht einiges dafür 
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi und wie würde ich jetzt noch auf den Konvergenzradius dieser Reihe kommen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Verwende die ![[]](/images/popup.gif) bekannte Formel für den Konvergenzradius.
Dabei würde ich hier eindeutig die Variante mit dem Quotienten wählen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also wenn ich es in die Formel einsetze erhalte ich:
r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} =|\bruch{(-1)^{n+1}*n!*\bruch{a^{n}}{b^{n}}}{(-1)^{n+2}*(n+1)!*\bruch{a^{n+1}}{b^{n+1}}}|
[/mm]
aber wie kann ich das vereinfachen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Also wenn ich es in die Formel einsetze erhalte ich:
>
> r= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} =|\bruch{(-1)^{n+1}*n!*\bruch{a^{n}}{b^{n}}}{(-1)^{n+2}*(n+1)!*\bruch{a^{n+1}}{b^{n+1}}}|[/mm]
>
> aber wie kann ich das vereinfachen?
Das dafür notwendige Spezialverfaren nennt man "Kürzen".
(Das Auflösen des Doppelbruchs kriegst du auch noch hin.)
Gruß Abakus
>
> lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also hab jetzt mal folgendes gemacht:
[mm] |\bruch{(-1)^{n}*(-1)^{1}*n!*a^{n}*b^{n}*b^{1}}{(-1)^{n}*(-1)^{2}*(n+1)*n!*b^{n}*a^{n}*a^{1}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{(-1)*b}{(1)*(n+1)*a}|
[/mm]
[mm] =|-\bruch{b}{(n+1)*a}| [/mm] = 0 ???
stimmt dies?
lg Surfer
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Surfer,
ich weiß gerade gar nicht so genau, was du eigentlich machst.
Du wolltest doch den Konvergenzradius der Taylorreihe ausrechnen.
Die hast du aber noch gar nicht aufgestellt.
Du hattest oben nur die Formel für die n-te Ableitung von f an der Stelle 0 ausgerechnet.
Aber die ist ja nur Bestandteil der Taylorreihe ...
Rechne mal aus, was denn $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot}x^n$ überhaupt ist.
Dann ist auch die Berechnung des Konvergenzradius ein Klacks
Oder hab' ich mal wieder was überlesen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also wenn ich es rechne hätte ich dastehen:
= [mm] \bruch{(-1)^{n+1}*n!*a^{n}*\bruch{1}{(ax+b)^{n}}}{n!}*(x-0)^{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)^{n+1}*a^{n}}{(ax+b)^{n}}*x^{n}
[/mm]
stimmt das?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
das kapiere ich nicht, du hattest doch oben richtig ausgerechnet
[mm] $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}\cdot{}n!\cdot{}\left(\frac{a}{b}\right)^n$
[/mm]
Das ist die Taylorformel eingesetzt:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot{}x^n$ [/mm] ergibt doch
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{}n!\cdot{}\left(\frac{a}{b}\right)^n}{n!}\cdot{}x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot{}x^n$
[/mm]
Von dieser (Potenz-)Reihe nun den Konvergenzradius ausrechnen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok also:
[mm] r=|\bruch{(-1)^{n+1}*(\bruch{a}{b})^{n}*x^{n}}{(-1)^{n+2}*(\bruch{a}{b})^{n+1}*x^{n+1}}|
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{\bruch{a*x}{b}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{b}{ax}
[/mm]
x [mm] \to\infty [/mm] = 0 oder?
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Hallo nochmal,
das verstehe ich leider schon wieder nicht so richtig
Nimm doch die Formel von Cauchy-Hadamard (oder Wurzelkriterium) und berechne
[mm] $r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|(-1)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{a}{b}\right)^n\right|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{a}{b}}=...$
[/mm]
Das Eulerkriterium (oder Quotientenkriterium) kannst du natürlich auch anwenden, aber dann auch richtig
Berechne [mm] $r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
$=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+2}\cdot{}\left(\frac{a}{b}\right)^{n+1}}{(-1)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{a}{b}\right)^n}}}\right|$
[/mm]
Das sollte beides zum selben Ergebnis führen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:04 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Surfer |
AAh ok sorry, hab total vergessen, dass nur die Reihe benötigt wird und nicht das [mm] x^{n}:
[/mm]
dann ekomme ich mit dem Quotientenkriterium einen Konvergenzradius von [mm] \bruch{1}{\bruch{a}{b}} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a} [/mm] oder?
lg Surfer
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> dann ekomme ich mit dem Quotientenkriterium einen
> Konvergenzradius von [mm]\bruch{1}{\bruch{a}{b}}[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
> oder?
Hallo,
ja, und mit Cauchy-Hadamard zum Glück auch.
Gruß v. Angela
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sorry, ich hab mich bei der Antwort nicht sehr gut ausgedrückt. Ich meine nicht die Fakultät bei der Taylorreihe sondern bei der reihe, die aus den Ableitungen entsteht.
f'= 1 /(ax+b)*a, n = 1
f''= -1 [mm] /(ax+b)*a^2, [/mm] n = 2
f'''= 2 [mm] /(ax+b)*a^3, [/mm] n = 3
f''''= -6 [mm] /(ax+b)*a^4, [/mm] n = 4
Surfer hat für die Reihe der Ableitungen n! statt (n-1)!
die Reihe ist doch (-1)^(n+1)* (n-1)! [mm] /((ax+b)^n) [/mm] * [mm] a^n [/mm] *
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 29.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
du hast vollkommen recht mit deinem Einwand - ich habe meine Antwort "weiter unten" entsprechend korrigiert.
Vielen Dank für den Hinweis
Lg
Herby
Antwort - editiert <-- click it
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Hallo,
aber diese reihe gilt ja nicht wenn man für n = 0 einsetze. Die Taylorreihe sollte doch mit n = 0 anfangen, aber für n = 0 kommt nicht ln raus. Wie kann man das ln, also die eigentlich funktion, noch in die reihen ziehen.
Zusätzlich sollte es doch (n-1)! heißen, nicht n!
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kannst Du etas genauer sagen, worauf Du Dich beziehst?
Ich kann es nicht herausfinden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also stimmen die oben geklärten Aufgaben nicht oder wie? wieso kommt jetzt noch zu Taylorreihe ln(b) dazu?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
doch das oben genannte stimmt schon, denn:
[mm] a_{\red{0}}=\bruch{f(\red{0})}{\red{0}!}*x^{\red{0}}=\bruch{ln(a*\red{0}+b)}{\red{1}}*\red{1}=ln(b)
[/mm]
so lautet das erste Glied in der Taylor-Reihe.
Lg
Herby
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Hallo,
Würde das ln(b), das nicht in der Reihe ist, den Kovergenzradius der Reihe irgendwie ändern?
Man könnte ja den Konvergenzradius anhand [mm] (-1)^{n+1}*a^n/(b^n) [/mm] mit der Quotientenregel berechnen. Aber kann man das auch machen wenn man das erste Glied, also das ln, nicht berücksichtigt hat.
[mm]f(x)=ln(b)+\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{a^n}{b^n}*x^{n}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engineer!
Der Summand (hier: [mm] $\ln(b)$ [/mm] ) vor der Reihe hat keinerlei Einfluss auf den Konvergenzradis der Reihe.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo an alle Beteiligten!
Die richtige Taylor-Reihe heißt nun:
[mm] $$T_0(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(b)+\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}*\left(\bruch{a}{b}\right)^n*x^n$$
[/mm]
Auch durch den Faktor [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] ändert sich nichts an dem Konvergenzradius, da dieser in der Formel "verschwindet". Es gilt ja: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] \ = \ 1$ .
$$r \ = \ [mm] \bruch{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\left|a_n\right|}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\left|(-1)^{n+1}*\bruch{1}{n}*\left(\bruch{a}{b}\right)^n\right|}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}}{\left(\bruch{a}{b}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{a}{b}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{a}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Wie bekomme ich das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] in der Taylorreihe?
Wenn ich die n-te ableitung mit dem Entwicklungspunkt 0 ein die Taylorformel einsetzte erhalte ich doch:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}*(n-1)!*(\bruch{a}{b})^{n}}{n!} *x^{n} [/mm] ?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Surfer,
$n!=(n-1)!*n$
im Bruch sieht das dann halt so aus:
[mm] \bruch{(n-1)!}{n!}=\bruch{(n-1)!}{(n-1)!*n}=\bruch{1}{n}
[/mm]
Lg
Herby
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
- du hast natürlich recht (da ist uns - insbesondere mir - gar nicht aufgefallen, dass ja z.B. [mm] 4!\not=6 [/mm] ist), obwohl ja der Ansatz richtig war. Wie können wir das nur wieder gut machen ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
