Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 02.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Talyorreihe der funktion f um den Entwicklungspunkt x0 = 0
f(x) = [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
dazu ist gegeben: [mm] f^n [/mm] (x) = [mm] (-1)^n [/mm] n! [mm] ((x+1)^{-n-1} [/mm] - [mm] (x-1)^{-n-1} [/mm] ) |
Nun habe ich ja folgende Reihe gegeben:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^k (x0)}{k!}
[/mm]
Nun habe ich, da mir ja die Ableitungen schon gegeben sind eingesetzt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n n! ((1)^{-n-1} - (1)^{-n-1} ) )}{n!} [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
Ist es soweit korrekt? Wie kann ich das nun zusammenfassen?
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Bestimmen sie die Talyorreihe der funktion f um den
> Entwicklungspunkt x0 = 0
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]
> dazu ist gegeben: [mm]f^n[/mm] (x) = [mm](-1)^n[/mm] n! [mm]((x+1)^{-n-1}[/mm] -
> [mm](x-1)^{-n-1}[/mm] )
> Nun habe ich ja folgende Reihe gegeben:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{f^k (x0)}{k!}[/mm]
>
> Nun habe ich, da mir ja die Ableitungen schon gegeben sind
> eingesetzt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n n! ((1)^{-n-1} - (1)^{-n-1} ) )}{n!}[/mm]
> * [mm]x^n[/mm]
Das muss doch hier lauten:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n n! ((1)^{-n-1} - (\red{-}1)^{-n-1} ) )}{n!} *x^n[/mm]
>
> Ist es soweit korrekt? Wie kann ich das nun
> zusammenfassen?
Vereinfache zunächst den Ausdruck
[mm](1)^{-n-1} - (-1)^{-n-1}[/mm]
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 02.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
Vereinfacht ist es:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n n! (1 - (-1)^{-n-1} ) )}{n!}
[/mm]
Dennoch komme ich da noch nicht auf den springenden punkt
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Vereinfacht ist es:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n n! (1 - (-1)^{-n-1} ) )}{n!}[/mm]
>
> Dennoch komme ich da noch nicht auf den springenden punkt
Untersuche jetzt, wie sich die Reihenglieder für
gerades und ungerades n ergeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 02.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
Okay ich denke:
für Ungerade: 0
für Gerade: 2
?
Danke für das schrittweise Erklären
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Okay ich denke:
>
> für Ungerade: 0
> für Gerade: 2
>
> ?
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für das schrittweise Erklären
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 02.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
Wie setze ich dass dann nun ein?
Ist dann
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2x^n [/mm] meine Lösung?
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Wie setze ich dass dann nun ein?
>
> Ist dann
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2x^n[/mm] meine Lösung?
Es treten doch nur gerade Potenzen von x auf.
Daher lautet die Lösung
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2x^{\red{2}n}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
|
