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Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 So 15.12.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
Löse die folgende Gleichung näherungsweise:

[mm] cos(x)= \bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2} [/mm]

Tipp: Entwicklen Sie dazu cos(x) in einer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt [mm] x_0== [/mm] bis einschlie?lich vierter Ordnung.

Taylorreihe:
[mm] f(x)= f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+\bruch{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\bruch{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n [/mm]
[mm] x_0=0 [/mm]
cos(x)= [mm] \bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2} [/mm]
cos'(x)= -x
cos''(x)= -1
cos'''(x)= 0
cos''''(x)= 0

Ich weiß allerdings nicht genau wie ich ansetzten soll. Kann mir vielleicht jemand helfen?




        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 So 15.12.2013
Autor: MathePower

Hallo bavarian16,

> Löse die folgende Gleichung näherungsweise:
>  
> [mm]cos(x)= \bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2}[/mm]
>  
> Tipp: Entwicklen Sie dazu cos(x) in einer Taylorreihe um
> den Entwicklungspunkt [mm]x_0==[/mm] bis einschlie?lich vierter
> Ordnung.
>  Taylorreihe:
>  [mm]f(x)= f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}*(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}*(x-x_0)^2+\bruch{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\bruch{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n[/mm]
>  
> [mm]x_0=0[/mm]
>  cos(x)= [mm]\bruch{24}{25}-\bruch{x^2}{2}[/mm]
>  cos'(x)= -x
>  cos''(x)= -1
>  cos'''(x)= 0
>  cos''''(x)= 0
>  
> Ich weiß allerdings nicht genau wie ich ansetzten soll.
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
>  


Es sind die ersten 4 Ableitungen des Cosinus
an der Stelle [mm]x_{0}=0[/mm] zu bestimmen.
Damit bekommst Du dann eine näherungsweise Darstellung
des Cosinus.

Der Ansatz mit der Taylorreihe f(x) ist richtig.

Verwende für f(x) [mm]\cos\left(x\right)[/mm]

Damit kannst Du dann die linke Seite der Gleichung
ebenfalls als Polynom darstellen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:14 Mo 16.12.2013
Autor: bavarian16

Ich versuchs mal;

[mm] cos(0)-\bruch{sin(0)}{1!}*(x-0)-\bruch{cos(0)}{2!}*(x-0)^2+\bruch{sin(0)}{3!}*(x-0)^3=25/24-\bruch{0^2}{2}-\bruch{0}{1!}*(x-0)-\bruch{1}{2!}*(x-2)^2+\bruch{0}{3!}*(x-0)^3 <=> 1- 1/2x^2=25/24- 1/2x^2 [/mm]

Jetzt kann iich den Ausdruck aber gar nicht nach x auflösen weil mein x rausfällt. Hab ich irgendwo ein fehler gemacht?

Und ich häät noch ne Frage: Doe dritte Ableitung ist ja -1. Da kann ich ja gar kein [mm] x_0 [/mm] Wert einsetzen. Nehm ich dann einfach nur die -1?


Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Glied 4. Ordnung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Mo 16.12.2013
Autor: Loddar

Hallo bavarian!


Wo ist denn Dein Glied vierter Ordnung?
Dann verbleibt auch ein $x_$ in der Bestimmungsgleichung.


Gruß
Loddar

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