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Hallo,
kann man Taylorreihen am Entwicklungspunkt Unendlich entwickeln?
Laut Mathematica lässt sich [mm]f(z) = (1/(Sqrt[x^2 + z^2]))[/mm] am Entwicklungspunkt Unendlich (Infinity) entwickeln, wobei x = const. sein soll:
[mm] Series[(1/(Sqrt[x^2 + z^2])), {z, Infinity, 3}] = 1/z - \frac{x^2}{2z^3} + ... [/mm]
Wenn ich das selber nachrechne, indem ich die Taylorentwicklung erst allgemein hinschreibe (also als würde man nach einem beliebigen Punkt a entwickeln) und dann den Grenzwert vom Entwicklungspunkt a --> Unendlich laufen lassen, komme ich nur auf das Ergebnis 0.
Kann mir jemand sagen was Mathematica da macht?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 30.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> kann man Taylorreihen am Entwicklungspunkt Unendlich
> entwickeln?
Ja. Das macht man z.B. im Rahmen der Funktionentheorie, in der es um differenzierbare Funktionen von [mm] $\IC$ [/mm] nach [mm] $\IC$ [/mm] geht.
Als erstes muss man dazu sagen, was mit "Entwicklungspunkt Unendlich" gemeint ist, denn "unendlich" ist weder eine reelle noch eine komplexe Zahl.
Die Menge [mm] $\IC$ [/mm] der komplexen Zahlen wird durch den Punkt [mm] $\infty$ [/mm] zur kompakten Menge [mm] $\IC^\ast [/mm] = [mm] \IC\cup \{\infty\}$ [/mm] ergänzt, und zwar auf eine ganz bestimmte Weise (stereografische Projektion; Riemannsche Zahlenkugel). Praktisch heisst das, dass die Abbildung
[mm] g(z) = \bruch{1}{z} [/mm]
den Punkt 0 auf den Punkt [mm] \infty [/mm] abbildet und umgekehrt.
> Laut Mathematica lässt sich [mm]f(z) = (1/(Sqrt[x^2 + z^2]))[/mm]
> am Entwicklungspunkt Unendlich (Infinity) entwickeln, wobei
> x = const. sein soll:
>
> Series[(1/(Sqrt[x^2 + z^2])), {z, Infinity, 3}] = 1/z - \frac{x^2}{2z^3} + ...
Richtig.
> Wenn ich das selber nachrechne, indem ich die
> Taylorentwicklung erst allgemein hinschreibe (also als
> würde man nach einem beliebigen Punkt a entwickeln) und
> dann den Grenzwert vom Entwicklungspunkt a --> Unendlich
> laufen lassen, komme ich nur auf das Ergebnis 0.
Ah, das geht deswegen nicht, weil die Taylorreihe dieser Funktion um den Entwicklungspunkt a nicht für beliebige Werte von x und a konvergiert. Genauer gesagt, konvergiert sie für [mm] $(z-a)^2a^2+x^2$ [/mm] . Auch diese Ergebnis kommt aus der Funktionentheorie. Daher kannst du a nicht beliebig gegen [mm] $\infty$ [/mm] (oder [mm] $-\infty$) [/mm] laufen lassen.
> Kann mir jemand sagen was Mathematica da macht?
Da gibt es eine relativ einfache Rechenvorschrift, die die oben erwähnte Abbildung $g(z) = 1/z$ anwendet:
Da [mm] $\infty$ [/mm] der Bildpunkt des Punktes 0 unter g ist, berechnet Mathematica zunächst die Taylorentwicklung von $f(1/z)$ um 0. Das ist aber noch nicht das richtige Ergebnis, weil es sich ja eben um die Taylorentwicklung von $f(1/z)$ handelt statt von $f(z)$. Daher muss anschließend $1/z$ durch $z$ ersetzt werden, was nichts anderes ist als $z$ durch $1/z$ zu ersetzen.
Ein Wort der Warnung: das ist eine Rechenvorschrift, die die Frage der Existenz bzw. Konvergenz der Taylorreihe erst einmal außen vorlässt. Zum Beispiel existiert die Taylorentwicklung der Sinusfunktion für jeden reellen (oder komplexen) Entwicklungspunkt, aber gerade nicht für den Entwicklungspunkt [mm] $\infty$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Di 31.05.2011 | | Autor: | matzekatze |
Danke Rainer, deine Erklärung war genau das was ich gesucht hab,
LG
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