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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion [mm] f(x)=(1+\bruch{x}{2})^{-4} [/mm] an der Stelle x0=0 in eine Taylorreihe |
Hallo,
ich habe mir nun diverse Videos dazu angeschaut und blicke im groben auch durch. Nur bin ich mir nicht ganz sicher wie ich hier vorgehen soll?
Ich versuchs mal:
Ich stelle zuerst mal die Ableitungen auf und setze dann x0 ein:
f(x) = [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-4} [/mm] = 1
f'(x) = [mm] \bruch{-2}{(\bruch{x}{2}+1)^{5}} [/mm] = -2
f''(x) = [mm] \bruch{320}{(x+2)^{6}} [/mm] = 5
f'''(x) = [mm] \bruch{-1920}{(x+2)^{7}} [/mm] = -15
f''''(x) = [mm] \bruch{13440}{(x+2)^{8}} [/mm] = 52,5
f'''''(x) = [mm] \bruch{-107520}{(x+2)^{9}} [/mm] = -210
Daraus konnte ich leider nichts "ablesen"... außer dass das Vorzeichen wechselt [mm] ((-1)^{n}).
[/mm]
Die Allgemeinform der Tayloreihe lautet ja:
T f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{n} (x0)}{n!} (x-x0)^{n}
[/mm]
Diese setzt sich zusammen aus den einzelnen Taylorpolynomen:
f(x0) + f'(x0)(x-x0) + [mm] \bruch{f''(x0)}{2!} (x-x0)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{f'''(x0)}{3!} (x-x0)^{3} [/mm] + [mm] \bruch{f''''(x0)}{4!} (x-x0)^{4} [/mm] + [mm] \bruch{f'''''(x0)}{5!} (x-x0)^{5} [/mm] etc. bis [mm] \bruch{f^{n}(x0)}{n!} (x-x0)^{n}
[/mm]
Nun mal meine Werte als Reihe darstellen:
1 + -2(x-0) + [mm] \bruch{5}{2!} (x-0)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{-15}{3!} (x-0)^{3} [/mm] + [mm] \bruch{52,5}{4!} (x-0)^{4} [/mm] + [mm] \bruch{-210}{5!} (x-0)^{5} [/mm] etc. bis [mm] \bruch{f^{n}(x0)}{n!} (x-x0)^{n}
[/mm]
Ich kann das jetzt noch ein wenig weiter "zerlegen" ...aber eigentlich kann man schon viel weiter vorn erkennen, wie diefunktion als allgemeine form aussieht und das darstellen...
was genau mache ich falsch und was soll/muss ich tun ?
würde mich über hilfe freuen.
gruß rudi
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> Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(x)=(1+\bruch{x}{2})^{-4}[/mm] an
> der Stelle x0=0 in eine Taylorreihe
> Hallo,
>
> ich habe mir nun diverse Videos dazu angeschaut und blicke
> im groben auch durch. Nur bin ich mir nicht ganz sicher wie
> ich hier vorgehen soll?
>
> Ich versuchs mal:
>
> Ich stelle zuerst mal die Ableitungen auf und setze dann x0
> ein:
>
> f(x) = [mm](1+\bruch{x}{2})^{-4}[/mm] = 1
>
> f'(x) = [mm]\bruch{-2}{(\bruch{x}{2}+1)^{5}}[/mm] = -2
>
> f''(x) = [mm]\bruch{320}{(x+2)^{6}}[/mm] = 5
>
> f'''(x) = [mm]\bruch{-1920}{(x+2)^{7}}[/mm] = -15
>
> f''''(x) = [mm]\bruch{13440}{(x+2)^{8}}[/mm] = 52,5
>
> f'''''(x) = [mm]\bruch{-107520}{(x+2)^{9}}[/mm] = -210
>
> Daraus konnte ich leider nichts "ablesen"... außer dass
> das Vorzeichen wechselt [mm]((-1)^{n}).[/mm]
>
>
> Die Allgemeinform der Tayloreihe lautet ja:
>
> T f(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{n} (x0)}{n!} (x-x0)^{n}[/mm]
>
>
>
> Diese setzt sich zusammen aus den einzelnen
> Taylorpolynomen:
>
> f(x0) + f'(x0)(x-x0) + [mm]\bruch{f''(x0)}{2!} (x-x0)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{f'''(x0)}{3!} (x-x0)^{3}[/mm] + [mm]\bruch{f''''(x0)}{4!} (x-x0)^{4}[/mm]
> + [mm]\bruch{f'''''(x0)}{5!} (x-x0)^{5}[/mm] etc. bis
> [mm]\bruch{f^{n}(x0)}{n!} (x-x0)^{n}[/mm]
>
> Nun mal meine Werte als Reihe darstellen:
>
> 1 + -2(x-0) + [mm]\bruch{5}{2!} (x-0)^{2}[/mm] + [mm]\bruch{-15}{3!} (x-0)^{3}[/mm]
> + [mm]\bruch{52,5}{4!} (x-0)^{4}[/mm] + [mm]\bruch{-210}{5!} (x-0)^{5}[/mm]
> etc. bis [mm]\bruch{f^{n}(x0)}{n!} (x-x0)^{n}[/mm]
>
>
> Ich kann das jetzt noch ein wenig weiter "zerlegen" ...aber
> eigentlich kann man schon viel weiter vorn erkennen, wie
> diefunktion als allgemeine form aussieht und das
> darstellen...
>
> was genau mache ich falsch und was soll/muss ich tun
Hallo Rudi
wenn du eine allgemeine Formel z.B. für [mm] f^{(n)}(x) [/mm] herleiten
möchtest, ist es nicht sinnvoll, gleich alle entstehenden
Faktoren auszumultiplizieren. Wenn man zuerst mal die
Faktoren so hinschreibt, wie sie beim Ableiten entstehen,
erkennt man viel besser das allgemeine "Rezept" dahinter.
Ich habe das mal bis zur dritten Ableitung gemacht und
gefunden:
$\ f'''(x)\ =\ [mm] (-4)*(-5)*(-6)*\left(\frac{1}{2}\right)^3*\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-7}$
[/mm]
Von da aus ist absehbar, in welcher Weise sich das Ganze
weiterentwickeln wird:
$\ [mm] f^{(n)}(x)\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{((-4)*(-5)*(-6)*\,.....)}_{n\ Faktoren}\left(\frac{1}{2}\right)^n*\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-4-n}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \left(\,-\,\frac{1}{2}\right)^n*\underbrace{(4*5*6*\,.....\,*(3+n))}_{n\ Faktoren}*\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-4-n}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \left(\,-\,\frac{1}{2}\right)^n*\frac{(3+n)\,!}{3\,!}*\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-4-n}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \frac{(-1)^n}{2^n*6}*(3+n)\,!*\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-4-n}$
[/mm]
Setzen wir nun noch für x den Wert 0 ein, so erhalten wir:
$\ [mm] f^{(n)}(0)\ [/mm] =\ [mm] \frac{(-1)^n}{2^n*6}*(3+n)\,!$
[/mm]
Es ist beruhigend festzustellen, dass diese Formel exakt
dieselben Werete liefert, die du oben auch schon hattest ...
Bemerkung: damit das alles komplett würde, müsste natürlich
noch ein Beweis mittels vollständiger Induktion geführt werden.
LG , Al-Chwarizmi
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So ganz habe ich es noch nicht drauf, ich versuche, ohne es mit deinem ansatz zu vergleichen nochmal selbst......
f(x) = [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-4}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] -4(1+\bruch{x}{2})^{-5}
[/mm]
das kann ich ja nicht so ableiten, da ich x * y * z habe, also muss ich doch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und -4 zusammenfassen, dass ich nur noch das produkt habe.
f''(x) = -2 [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-5}
[/mm]
jetzt kann ich mit der produktregel ableiten und beim term in klammern mit der kettenregel arbeiten und erhalte:
f''(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * -2 * [mm] -5(1+\bruch{x}{2})^{-6}
[/mm]
wenn ich die -2 wieder in die ursprungsform bringe, erhalte ich:
f''(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] * -4) * [mm] -5(1+\bruch{x}{2})^{-6}
[/mm]
und jetzt sehe ich, dass beim nächsten ableiten wieder [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dazu kommen, also fasse ich sie als potenz zusammen und erhöhe einfach immer:
f''(x) = -4 * -5 * [mm] (\bruch{1}{2}^{2}) [/mm] * [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-6}
[/mm]
die dritte ableitung lautet dann wie folgt:
f'''(x) = -4 * -5 * -6 * [mm] (\bruch{1}{2}^{3}) [/mm] * [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-7}
[/mm]
nur, wie bringe ich das jetzt in die allgemeine form.. ?!?
[mm] f^{n}(x) [/mm] = -4 * -5 * -6 * [mm] (\bruch{1}{2}^{n}) [/mm] * [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-4-n}
[/mm]
dieses -4 -5 -6 hat bestimmt iwas mit fakultät zu tun....wie stelle ich das nur da....hmmm
jetzt muss ich doch mal bei dir schauen....
ok, dieses [mm] \bruch{(3+n)!}{3!} [/mm] ist echt clever...darauf bin ich einfach nicht gekommen... jetzt wo ich es sehe, ist es total logisch und genial....
also:
[mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(3+n)!}{3!} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2}^{n}) [/mm] * [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-4-n}
[/mm]
jetzt können wir noch ein wenig zusammenfassen....
[mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(3+n)!}{6*2^{n}} [/mm] * [mm] (1+\bruch{x}{2})^{-4-n}
[/mm]
ok sieht ein wenig anders aus als bei dir, müsste aber das gleiche sein
und jetzt für x 0 einsetzen...
[mm] f^{n}(x=0) [/mm] = [mm] \bruch{(3+n)!}{6*2^{n}} [/mm] * [mm] (1)^{-4-n}
[/mm]
und [mm] 1^{egal was} [/mm] ist immer 1
also [mm] f^{n}(x=0) [/mm] = [mm] \bruch{(3+n)!}{6*2^{n}}
[/mm]
ich denke meine lösung müsste auch richtig sein...
gruß rudi
p.s. danke nochmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Do 29.01.2015 | | Autor: | Fulla |
> So ganz habe ich es noch nicht drauf, ich versuche, ohne es
> mit deinem ansatz zu vergleichen nochmal selbst......
>
>
>
> f(x) = [mm](1+\bruch{x}{2})^{-4}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]-4(1+\bruch{x}{2})^{-5}[/mm]
Hallo Rudi,
setze hier Klammern, damit nicht zwei Rechenzeichen direkt aufeinander folgen: [mm]\ldots -\frac 12\cdot(-4)\cdot\ldots[/mm]
> das kann ich ja nicht so ableiten, da ich x * y * z habe,
> also muss ich doch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und -4 zusammenfassen, dass
> ich nur noch das produkt habe.
Nö, du MUSST da nichts zusammenfassen. 1/2 und -4 sind konstante Faktoren und davon darfst du so viele haben, wie du willst. Die bleiben beim Ableiten einfach stehen. Weiter unten fasst du sie ja auch nicht mehr zusammen...
> f''(x) = -2 [mm](1+\bruch{x}{2})^{-5}[/mm]
>
>
> jetzt kann ich mit der produktregel ableiten und beim term
> in klammern mit der kettenregel arbeiten und erhalte:
Die Produktregel brauchst du hier nicht (und du hast sie auch nicht angewandt) - meinst die vielleicht die Faktorregel?
> f''(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * -2 * [mm]-5(1+\bruch{x}{2})^{-6}[/mm]
>
> wenn ich die -2 wieder in die ursprungsform bringe, erhalte
> ich:
>
> f''(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2}[/mm] * -4) *
> [mm]-5(1+\bruch{x}{2})^{-6}[/mm]
>
> und jetzt sehe ich, dass beim nächsten ableiten wieder
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] dazu kommen, also fasse ich sie als potenz
> zusammen und erhöhe einfach immer:
>
> f''(x) = -4 * -5 * [mm](\bruch{1}{2}^{2})[/mm] *
> [mm](1+\bruch{x}{2})^{-6}[/mm]
>
>
> die dritte ableitung lautet dann wie folgt:
>
> f'''(x) = -4 * -5 * -6 * [mm](\bruch{1}{2}^{3})[/mm] *
> [mm](1+\bruch{x}{2})^{-7}[/mm]
Setze auch hier Klammern bei den negativen Faktoren.
> nur, wie bringe ich das jetzt in die allgemeine form.. ?!?
>
>
> [mm]f^{n}(x)[/mm] = -4 * -5 * -6 * [mm](\bruch{1}{2}^{n})[/mm] *
> [mm](1+\bruch{x}{2})^{-4-n}[/mm]
>
>
> dieses -4 -5 -6 hat bestimmt iwas mit fakultät zu
> tun....wie stelle ich das nur da....hmmm
> jetzt muss ich doch mal bei dir schauen....
>
>
> ok, dieses [mm]\bruch{(3+n)!}{3!}[/mm] ist echt clever...darauf bin
> ich einfach nicht gekommen... jetzt wo ich es sehe, ist es
> total logisch und genial....
>
>
> also:
>
> [mm]f^{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{(3+n)!}{3!}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2}^{n})[/mm] *
> [mm](1+\bruch{x}{2})^{-4-n}[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Wo sind denn die ganzen Minuszeichen hingekommen?
> jetzt können wir noch ein wenig zusammenfassen....
>
>
> [mm]f^{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{(3+n)!}{6*2^{n}}[/mm] *
> [mm](1+\bruch{x}{2})^{-4-n}[/mm]
>
>
> ok sieht ein wenig anders aus als bei dir, müsste aber das
> gleiche sein
Nein, das sieht nur so ähnlich aus wie Al-Chwarizmis Lösung  Wie gesagt, die Minuszeichen fehlen.
> und jetzt für x 0 einsetzen...
>
>
> [mm]f^{n}(x=0)[/mm] = [mm]\bruch{(3+n)!}{6*2^{n}}[/mm] * [mm](1)^{-4-n}[/mm]
>
> und [mm]1^{egal was}[/mm] ist immer 1
>
>
> also [mm]f^{n}(x=0)[/mm] = [mm]\bruch{(3+n)!}{6*2^{n}}[/mm]
>
>
> ich denke meine lösung müsste auch richtig sein...
Nein, ist sie nicht - aber fast.
Wie dir bestimmt aufgefallen ist, bekommst bei jeder Ableitung immer den Faktor [mm]\frac 12[/mm] dazu - also haben wir bei der n-ten Ableitung den Faktor [mm]\left(\frac 12\right)^n[/mm].
Außerdem kommt jedes mal der aktuelle (negative) Exponent - beginnend mit -4 - als Faktor dazu.
Al-Chwarizmi hat dir sehr schön ausgeführt, wie man dieses System in eine allgemeine Formel packen kann. Im Wesentlichen "verschiebt" er die Minuszeichen von den ganzzahligen Faktoren zu den [mm]\frac 12[/mm]. Z.B. bei der ersten Ableitung: [mm]\frac 12\cdot (-4) =-\frac 12\cdot 4[/mm].
Der Trick mit der Fakultät ist eigentlich ganz einfach, wenn man ihn einmal gesehen hat. Ich denke mal, das muss ich nicht nochmal ausführen.
Lieben Gruß,
Fulla
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ok, danke, leuchtet ein...die konstanten würden nur wegfallen wenn es 3+ 5+ [mm] x^2 [/mm] wäre..... bei dieser aufgabe sind es aber FAKTOREN .... klar, die bleiben ja immer bestehen...
danke ...
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