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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm]f : X \to \IR[/mm], welche durch [mm]f(x) := ln \left(\bruch{1}{1-x} \right)[/mm] gegeben ist, wobei [mm]X \subseteq \IR[/mm] der maximal mögliche Definitionsbereich der Funktion ist.
a) Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion f um 0.
b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe. |
Hallo zusammen,
ich bin mir nicht sicher, ob ich mit meiner Lösung richtig liege. Es wäre super, wenn Ihr Euch das mal anschauen könntet:
zu a)
[mm]f'(x) = \bruch{1}{(1-x)}[/mm]
[mm]f''(x) = \bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
[mm]f'''(x) = \bruch{2}{(1-x)^3}[/mm]
[mm]f^{(4)}(x) = \bruch{6}{(1-x)^4}[/mm]
Hier erkennt man bereits ein Muster – und daraus habe ich folgende allgemeine Form entworfen:
[mm]f^{(n)}(x) = \bruch{(n-1)!}{(1-x)^n}[/mm]
Also:
[mm]f^{(n)}(0) = \bruch{(n-1)!}{1^n}[/mm]
[mm]T f(x) = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} * \bruch{(k-1)!}{1^k} * x^k = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(k-1)!*x^k}{k(k-1)!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k}[/mm]
zu b)
[mm]r = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_k}{a_{k+1}} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{\bruch{1}{k}}{\bruch{1}{k+1}} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{k+1}{k} \right | = 1[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 So 09.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Lustique,
> Du hast ab [mm]f'''[/mm] einen Vorzeichenfehler drin, der sich
> deswegen auch durch deine ganze Reihe zieht.
Mmh, ich habe das jetzt mehrfach nachgerechnet und konnte keinen Fehler finden:
[mm]f'''(x) = \bruch{(-1) * 2(1-x) * (-1)}{(1-x)^4} = \bruch{2}{(1-x)^3}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 09.12.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
> > Du hast ab [mm]f'''[/mm] einen Vorzeichenfehler drin, der sich
> > deswegen auch durch deine ganze Reihe zieht.
>
> Mmh, ich habe das jetzt mehrfach nachgerechnet und konnte
> keinen Fehler finden:
>
> [mm]f'''(x) = \bruch{(-1) * 2(1-x) * (-1)}{(1-x)^4} = \bruch{2}{(1-x)^3}[/mm]
>
>
Tut mir Leid, du hast natürlich recht, ich habe, aus welchem Grund auch immer, $f'''(x) = [mm] -\frac{2}{(x-1)^3}$ [/mm] ausgerechnet, und nicht genau auf den Nenner geachtet (habe zu viel mit Vorzeichen rumgespielt), denn es gilt ja $f'''(x) = [mm] -\frac{2}{(x-1)^3}=\frac{2}{(1-x)^3}$. [/mm] Außerdem hatte ich eine ähnliche Funktion im Kopf und da kam in der Reihe ein [mm] $(-1)^k$ [/mm] vor, was ich hier vermisst habe. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 09.12.2012 | | Autor: | Miles |
Hallo das sieht doch gut aus!
Die Ableitungen sind korrekt. Wenn du möchtest kannst du deine vermutete geschlossene Form für die n-te Ableitung noch per Induktion zeigen.
Bei deiner Tailorreihe musst du allerdings aufpassen, denn deine Formel für die n-te Ableitung gilt nicht für $n=0$. (was ist $-1!$)
Soll heißen du musst den ersten Term mit $f(0)$ getrennt betrachten.
Der Rest ist richtig würde ich sagen.
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Hallo Miles!
Danke für Deine Antwort.
> Hallo das sieht doch gut aus!
> Die Ableitungen sind korrekt. Wenn du möchtest kannst du
> deine vermutete geschlossene Form für die n-te Ableitung
> noch per Induktion zeigen.
Ich war mir hier nicht sicher, ob ich das tun muss (also ob die Aufgabe das von mir verlangt). Zur Übung werde ich das jetzt einfach mal machen – aber ist das generell immer notwendig bei solchen Aufgabenarten?
> Bei deiner Tailorreihe musst du allerdings aufpassen, denn
> deine Formel für die n-te Ableitung gilt nicht für [mm]n=0[/mm].
> (was ist [mm]-1![/mm])
> Soll heißen du musst den ersten Term mit [mm]f(0)[/mm] getrennt
> betrachten.
Zum Beispiel so?
[mm]f^{(n)}(0)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } n = 0 \\
\bruch{(n-1)!}{1^n}, & \mbox{fuer } n > 0 \end{cases}[/mm]
Meine Taylorreihe könnte (müsste) ich dann natürlich auch direkt bei 1 beginnen lassen:
[mm]T f(x) = \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^k}{k}[/mm]
> Der Rest ist richtig würde ich sagen.
Das freut mich. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 09.12.2012 | | Autor: | Miles |
Ob die vollständige Induktion gefordert ist?
Hängt vom Tutor ab würde ich sagen...
In der Übung zur höheren Mathematik würde ich es nicht verlangen in der ANA vorlesung schon.
freut mich, dass ich helfe konnte.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $\Longrightarrow [/mm] f'''(x) = - [mm] \frac{2}{(1-x)^3}$ [/mm] 