Taylorreihe tanh(x) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend,
ich habe eine kurze Frage, zur Taylorreihe von tanh(z).
Es geht im konkreten um folgendes:
[mm]f(z)= tanh(z)
f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty} [/mm]
Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe [mm]\sum_ {n=0}^{\infty} \frac {z^n} {n!} f^{(n)}(0) [/mm]?
Okay, Ableitungen habe ich bestimmt, und kann bekannte Formeln nur bestätigen:
[mm] \frac {d^n} {dz^n} tanh (z) = \frac {2^{n+1} e^{2z}} {(1+e^{2^{n+1}})^{n+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k e^{2kz}[/mm] wobei [mm] A_m_,_k [/mm] die Euler Zahlen sein sollen.
Ab hier weiß ich nicht wirklich weiter, weil setz ich jetzt 0 ein, dann fällt bis auf [mm] \sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k [/mm] alles weg.
Vielleicht habe ich einfach nur zwecks vergangener Zeit seit der letzten taylorreihe einen Fehler in der Matrix, aber ich kriege einfach keine vernünftige Reihe daraus gebastelt.
Danke
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Hallo Killercat,
> Guten Abend,
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> ich habe eine kurze Frage, zur Taylorreihe von tanh(z).
> Es geht im konkreten um folgendes:
> [mm]f(z)= tanh(z)
f: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty}[/mm]
>
> Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe [mm]\sum_ {n=0}^{\infty} \frac {z^n} {n!} f^{(n)}(0) [/mm]?
>
> Okay, Ableitungen habe ich bestimmt, und kann bekannte
> Formeln nur bestätigen:
> [mm]\frac {d^n} {dz^n} tanh (z) = \frac {2^{n+1} e^{2z}} {(1+e^{2^{n+1}})^{n+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k e^{2kz}[/mm]
Das soll doch so lauten:
[mm]\frac {d^n} {dz^n} tanh (z) = \frac {2^{n+1} e^{2z}} {(1+e^{2\blue{z}})^{n+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k e^{2kz}[/mm]
> wobei [mm]A_m_,_k[/mm] die Euler Zahlen sein sollen.
> Ab hier weiß ich nicht wirklich weiter, weil setz ich
> jetzt 0 ein, dann fällt bis auf [mm]\sum_{k=0}^m (-1)^k A_m_,_k[/mm]
> alles weg.
> Vielleicht habe ich einfach nur zwecks vergangener Zeit
> seit der letzten taylorreihe einen Fehler in der Matrix,
> aber ich kriege einfach keine vernünftige Reihe daraus
> gebastelt.
>
Das ist auch richtg so, denn Du berechnest
doch den Wert der Ableitung an der Stelle z=0.
Setze dies dann in die Taylorreihe [mm]\sum_ {n=0}^{\infty} \frac {z^n} {n!} f^{(n)}(0) [/mm] ein.
Dann erhältst Du eine vernünftige Reihe.
> Danke
Gruss
MathePower
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Danke für deine Antwort erstmal.
Ist die Taylorreihe auf [mm]\mathbb {C}[/mm] denn nicht eindeutig? Weil das, was dann daraus kommt hat auf den ersten Blick wenig mit der mir bekannten Taylordarstellung zu tun.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Killercat |
Frage beantwortet, danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mi 20.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Du sollst doch nur den Konvergenzradius der Potenzreihenentwicklung von [mm] f(z)=\tanh(z) [/mm] um 0 berechnen.
f ist auf [mm] \IC [/mm] meromorph. Bestimme zunächst die Menge $P$ der Pole von f. Dann ist f auf [mm] $\IC \setminus [/mm] P$ holomorph. Beachte $ 0 [mm] \notin [/mm] P$ !.
Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe $ [mm] \sum_ {n=0}^{\infty} \frac [/mm] { [mm] f^{(n)}(0) [/mm] } [mm] {n!}z^n$.
[/mm]
Der Satz über die Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen sagt nun:
[mm] $R=\max \{r>0: \{z \in \IC:|z|
Es ist also
$R= [mm] \min \{|a|: a \in P\}.$
[/mm]
Zu Deiner Kontrolle: [mm] $R=\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Killercat |
Okay, den Satz kannte ich noch nicht. Aber dann danke für den Hinweis.
Danke und liebe grüße
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