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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:10 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Ryusaki |
Meine Frage lautet ganz einfach, ob mir jemand sagen kann, ob ich die vollständige Induktion richtig gerechnet habe oder falls nicht, mir sagen kann wo meine Fehler liegen.
Induktionsbeginn: i = 0
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{i!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {i+1}{i*(i+1)}[/mm]
=> für i = 0 gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {0+1}{0*(0+1)}[/mm]
1 = 1
Induktionsannahme: i = k
[mm]\sum_{i=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+1}{k*(k+1)}[/mm]
Induktionsbehauptung: i = k + 1
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+2}{(k+1)*(k+2)}[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} * \bruch {1}{1!} = 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} * 1 + \bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty} 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} + 1 = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
[mm] 1 + \bruch {1}{(k+1)}=1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]mit k [mm] \in \IN
[/mm]
also wäre nett wenn mir jemand darauf eine antwort geben kann :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das sieht mir reichlich durcheinander aus.
Ich würde gerne mal zu Beginn die Behauptung überhaupt mal sehen.
Dann hast du im Beweisverlauf i als Summationsindex, in der Summe aber nur k stehen, da summierst du also immer konstante Terme auf ...
Also sag mal die Aufgabe im Originalwortlaut ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Ryusaki |
Also die Aufgabe die ich mir selbst gestellt habe, lautete:
Beiweise folgenden Zusammenhang durch vollständige Induktion:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} 1 + \bruch {1+k}{k*(k+1)}[/mm] mit k [mm] \in \IN
[/mm]
das mit dem i hab ich irgendwie ohne es zu merken rein geschrieben
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Hallo nochmal,
> Also die Aufgabe die ich mir selbst gestellt habe, lautete:
> Beiweise folgenden Zusammenhang durch vollständige
> Induktion:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} 1 + \bruch {1+k}{k*(k+1)}[/mm]
> mit k [mm]\in \IN[/mm]
> das mit dem i hab ich irgendwie ohne es zu
> merken rein geschrieben
Das kann gar nicht gelten.
Linkerhand steht ja nix anderes als $e$ - die eulersche Zahl: 2,71...$
Rechterhand summierst du unendlich oft die 1 auf und addierst noch was positives hinzu.
Da steht rechts also [mm] $\infty$
[/mm]
[mm] $e=\infty$ [/mm] ?
Eher nicht 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Ryusaki |
Okey ^^ hab mich das schon seit paar Tagen gefragt wo mein Fehler liegt
Danke nochmal
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Hallo nochmal,
> Meine Frage lautet ganz einfach, ob mir jemand sagen kann,
> ob ich die vollständige Induktion richtig gerechnet habe
> oder falls nicht, mir sagen kann wo meine Fehler liegen.
> Induktionsbeginn: i = 0
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{i!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {i+1}{i*(i+1)}[/mm]
>
> => für i = 0 gilt:
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {0+1}{0*(0+1)}[/mm]
>
> 1 = 1
Aha ...
Was ist [mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty}1 [/mm] $?
Du summierst unendlich oft die 1 auf, das ist also [mm] $\infty$
[/mm]
Dann $(0+1)/(0(0+1))$, also $1/0$ - was soll das sein?
Wo taucht die Variable auf, über die du die Induktion machst?
Und wie gesagt, Induktion zu welcher Behauptung?!
> Induktionsannahme: i = k
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} \bruch {1}{k!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+1}{k*(k+1)}[/mm]
>
> Induktionsbehauptung: i = k + 1
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)!} = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {k+2}{(k+1)*(k+2)}[/mm]
>
> Induktionsschluss:
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} * \bruch {1}{1!} = 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} * 1 + \bruch {1}{0!} = \sum_{i=0}^{\infty} 1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch {1}{(k+1)} + 1 = \sum_{i=0}^{\infty}1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]
>
> [mm]1 + \bruch {1}{(k+1)}=1 + \bruch {1}{(k+1)}[/mm]mit k [mm]\in \IN[/mm]
>
> also wäre nett wenn mir jemand darauf eine antwort geben
> kann :)
Kokolores
Gruß
schachuzipus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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