www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeit Potenzen
Teilbarkeit Potenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilbarkeit Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mo 17.02.2014
Autor: mbra771

Aufgabe
Seien $a,b,n [mm] \in \IN$. [/mm] Beweisen Sie: Wenn [mm] $a^n|b^n$ [/mm] gilt, dann folgt $a|b$.

Hallo Forum,
Ich bin mir etwas unsicher, ob mein Ansatz so richtig ist. Es wäre schön, wenn jemand mir einen Kommentar zu meiner Lösung schreiben könnte. Da ich mich auf den folgenden Korollar berufen möchte, führe ich diesen kurz auf:

Korollar 1.3.7
Sei $n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \not\in \{-1,0,1\}$. [/mm] Sei [mm] $n=\pm p_1^{e1}...p_r^{er}$ [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung.
Genau dann ist $d$ ein Teiler von $n$, wenn [mm] $d=\pm p_1^{f1}...p_r^{fr}$ [/mm] mit [mm] $0\le f_i \le e_i$ [/mm] für alle [mm] $1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] r$ ist.

Hier mein Ansatz:
Sei [mm] $\produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei}=b$ [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung von b, dann ist [mm] $(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei})^n [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei*n}$ [/mm] die Primfaktorzerlegung von [mm] $b^n$. [/mm]
Da nach Vorgabe [mm] $a^n$ [/mm] ein Teiler von [mm] $b^n$ [/mm] ist, so kann nach Korallar 2.7.1 auch [mm] $a^n$ [/mm] als [mm] $\produkt_{i=1}^{n} p_i^{fi*n}$ [/mm] dargestellt werden, wobei für alle Exponenten gilt: [mm] $0\le fi*n\le [/mm] ei*n$

Damit gilt auch [mm] $0\le fi\le [/mm] ei$ und da [mm] $b=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{ei}$ [/mm] und [mm] $a=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{fi}$ [/mm] ist folgt erneut mit Korollar 2.7.1, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.


Viele Grüße,
Micha

        
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Mo 17.02.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hey,

wie wäre es mit einem Beweis durch Kontraposition? Für mich sieht das sehr viel übersichtlicher aus.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Mo 17.02.2014
Autor: mbra771

Hallo UniversellesObjekt,
ich denke auch das wäre machbar. Ich weiß nicht, ob das einfacher wäre. Die geschriebene Lösung ist die Idee, die ich direkt hatte.
Ist meine Lösung so, wie ich sie geschrieben habe nachvollziehbar?

Grüße
Micha

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mo 17.02.2014
Autor: UniversellesObjekt

Ja, es sieht auch so richtig aus :-) Ich bin nur kein Freund von diesen ganzen Produktzeichen, zumindest wenn man sie umgehen kann. Per Kontraposition:

Gelte [mm] $a\nmid [/mm] b$. Dann hat $a$ einen Primteiler $p$, welche nicht $b$ teilt. Nun sieht man praktisch sofort, dass [mm] $p\mid a^n$ [/mm] aber [mm] $p\nmid b^n$. [/mm]

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mo 17.02.2014
Autor: mbra771

Ja, der Gedanke ist nicht schlecht. Aber für die Aufgabe sollte die Richtung

[mm] a^n|b^n [/mm] daraus folgt a|b gezeigt werden.



Bezug
                                        
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Mo 17.02.2014
Autor: reverend

Hallo mbra,

> Ja, der Gedanke ist nicht schlecht. Aber für die Aufgabe
> sollte die Richtung
>
> [mm]a^n|b^n[/mm] daraus folgt a|b gezeigt werden.

Naja. Schau Dir das noch mal an. Was UniversellesObjekt zeigt, ist logisch identisch.

Alle nicht-schwarzen Objekte sind Nicht-Raben. ;-)

Grüße
reverend

Bezug
                                                
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Mo 17.02.2014
Autor: mbra771

Ich muß ganz ehrlich zugeben, daß ich euch beiden nicht zu 100% folgen kann.

Bitte erläutert mir diesen Beweis noch mal (wenn es geht, dann anhand der Raben)!
Bitte !!!
Grüße, Micha

Bezug
                                                        
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Mo 17.02.2014
Autor: UniversellesObjekt

Wir wollen zeigen: Sind $a,b$ Raben, so sind $a,b$ schwarz.

Naja, nehmen wir uns zwei beliebige Vögel $a,b$, welche nicht schwarz sind. Da gibt es eine Menge Möglichkeiten, Küken, Seeadler, Rotmeisen, aber keine Raben. Somit müssen alle Raben schwarz sein.

Wir wollen zeigen: Gilt [mm] $a^n\mid b^n$, [/mm] so folgt [mm] $a\mid [/mm] b$.

Naja nehmen wir uns zwei beliebige Zahlen mit [mm] $a\nmid [/mm] b$. Dann kann nicht [mm] $a^n\mid b^n$ [/mm] gelten, da links ein Primfaktor enthalten ist, welcher rechts nicht ist. Somit mus [mm] $a\mid [/mm] b$ gelten.

[]Kontraposition

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                
Bezug
Teilbarkeit Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Di 18.02.2014
Autor: mbra771

Hallo UniversellesObjekt,
vielen Dank für deine Erklärung. Besonders, weil ich dein Beispiel direkt verstanden habe :-)

Ich selber wäre nicht auf diese Lösung gekommen, freue mich aber, daß ich etwas lernen konnte.
Viele Grüße,
Micha



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de