Teilbarkeit Summen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Zeige [mm] (1^3+2^3+...+n^3) [/mm] / [mm] (3*(1^5+2^5+..+n^5)) [/mm] |
ich weiß nicht wie ich da am besten rangehe.
In der Vorlesung hatten wir ein Lemma, aber ich weiß nicht ob mir das hier nützlich ist :
m / [mm] n_i [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k)
=> [mm] m/(l_1 n_1 [/mm] + [mm] ..+l_k [/mm] * [mm] n_k) \forall l_1,..,l_k \in \IZ
[/mm]
Es genügt demnach doch auch zuzeigen, dass [mm] (1^3 [/mm] + [mm] 2^3 +..+n^3) [/mm] / 3
Ich weiß [mm] 1^3 [/mm] + [mm] 2^3 +..+n^3= \frac{n^2*(n+1)^2}{4}
[/mm]
Induktion:
[mm] \frac{n^2*(n+1)^2}{4} [/mm] / 3
I.Anfang für n=1
1/3 korrekt
I.V [mm] \frac{(n-1)^2*(n)^2}{4} [/mm] / 3
I.Schritt n-1 -> n. ZuZeigen: [mm] \frac{n^2*(n+1)^2}{4}/ [/mm] 3
[mm] \frac{n^2*(n+1)^2}{4} [/mm] = [mm] \frac{n^4+2n^3+n^2}{4} [/mm] = [mm] \frac{(n-1)^2*(n)^2+4n^3}{4} =\frac{(n-1)^2*(n)^2}{4} [/mm] + [mm] n^3
[/mm]
nach Induktionsvorrausetzung erste teil durch 3 teilbar
Was ist mit [mm] n^3
[/mm]
Oder sind schon die Anfangsbedingungen falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Do 15.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Mhm das war wohl totaler Mist.
[mm] \frac{n^2*(n+1)^2}{4} [/mm] / [mm] 3*\frac{n^2(n+1)^2*(2n^2+2n-1)}{12}
[/mm]
Stimmt da:
[mm] 3*\frac{n^2(n+1) ^2*(2n^2+2n-1)}{12} [/mm] = [mm] \frac{n^2*(n+1)^2}{4} [/mm] * [mm] \frac{3*(2n^2+2n-1)}{3}
[/mm]
Gibts noch eine andere Möglichkeit, ich weiß nämlich nicht ob ich die formel hoch 5 benutzen darf!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo quasimo,
beweise die Formel, dann darfst du sie auch verwenden!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Kannst du mir da vlt. eine Internetseite mit dem beweis empfehlen? Oder einen Tipp wie ich das mache?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
man kann alle Summenformeln mit vollst Induktion beweisen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
<Okay die hoch 3 hab ich geschafft. Die Summenformel hoch 5 macht mir Probleme.
[mm] 1^5 [/mm] + [mm] 2^5 [/mm] ..+ [mm] n^5 [/mm] = [mm] \frac{n^2*(n+1)^2*(2n^2+2n-1)}{12}
[/mm]
Induktionsanfang für n=1
1= [mm] \frac{1*2^2*3}{12}
[/mm]
[mm] 1=\frac{12}{12}
[/mm]
1=1
I.Vorrausetzung für n=n gilts
[mm] 1^5 [/mm] + [mm] 2^5 [/mm] ..+ [mm] n^5 [/mm] = [mm] \frac{n^2* (n+1)^2*(2n^2+2n-1)}{12}
[/mm]
I.Schritt n-> n+1
ZZ.: [mm] \frac{(n+1)^2*(n+2)^2*(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12}=\frac{n^2* (n+1)^2*(2n^2+2n-1)}{12} [/mm] + [mm] (n+1)^5
[/mm]
[mm] \frac{(n+1)^2*(n+2)^2*(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12}
[/mm]
= [mm] \frac{(n^2+2n+1)*(n^2+4n+4)*(2n^2+4n+2+2n+2-1)}{12}
[/mm]
= [mm] \frac{(n^2+2n+1)*(n^2+4n+4)*(2n^2+6n+3)}{12}
[/mm]
Ich komme nicht auf meine Induktionsvorrausetzung!
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Hallo,
Du hast die Induktionsvorraussetzung doch in deiner "Z.Z.-Zeile" schon verwendet (Bruch auf rechter Seite). Zeige also die Richtigkeit der dort behaupteten Gleichung.
gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Es ist doch immer schöner wenn man von der rechten Seite auf die linke kommt (empfinde ich so).
Kannst du mir vlt da noch einen Tipp geben, dass ich die I.V einsetzten kann?
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Hallo quasimo,
> Es ist doch immer schöner wenn man von der rechten Seite
> auf die linke kommt (empfinde ich so).
> Kannst du mir vlt da noch einen Tipp geben, dass ich die
> I.V einsetzten kann?
Zerlege wie folgt:
[mm]2n^2+6n+3=a*\left(n+1\right)^{2}+b*\left(n+1\right)+c[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich krieg da irgendwie nicht ganz hin, was ich versucht habe war Polynomdivision:
[mm] 2n^2+6n+3 [/mm] :(n+1) = 2n + 4 -1/(n+1)
Ich bräuchte nochmal hilfe ;(
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Hallo quasimo,
> Ich krieg da irgendwie nicht ganz hin, was ich versucht
> habe war Polynomdivision:
> [mm]2n^2+6n+3[/mm] :(n+1) = 2n + 4 -1/(n+1)
>
So hab ich das nicht gemeint.
Ich hab das so gemeint:
[mm]2n^2+6n+3 =a*\left(n+1\right)^{2}+b*\left(n+1\right)+c[/mm]
Multipliziere die rechte Seite aus und führe einen Koeffizentenvergleich durch.
> Ich bräuchte nochmal hilfe ;(
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
> I.Vorrausetzung für n=n gilts
> $ [mm] 1^5 [/mm] $ + $ [mm] 2^5 [/mm] $ ..+ $ [mm] n^5 [/mm] $ = $ [mm] \frac{n^2\cdot{} (n+1)^2\cdot{}(2n^2+2n-1)}{12} [/mm] $
> I.Schritt n-> n+1
> ZZ.: $ [mm] \frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12}=\frac{n^2\cdot{} (n+1)^2\cdot{}(2n^2+2n-1)}{12} [/mm] $ + $ [mm] (n+1)^5 [/mm] $
> $ [mm] \frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12} [/mm] $
> = $ [mm] \frac{(n^2+2n+1)\cdot{}(n^2+4n+4)\cdot{}(2n^2+4n+2+2n+2-1)}{12} [/mm] $
> = $ [mm] \frac{(n^2+2n+1)\cdot{}(n^2+4n+4)\cdot{}(2n^2+6n+3)}{12} [/mm] $
= [mm] \frac{(n^2+2n+1)\cdot{}(n^2+4n+4)\cdot{}(2*(n+1)^2+2*(n+1)-1)}{12} [/mm]
SO das hab ich mal .
Ich seh die Induktionsvorrausetzung leider noch immer nicht ;(.
Ich weiß es ist schwer mit mir ..
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Hallo quasimo,
> > I.Vorrausetzung für n=n gilts
> > [mm]1^5[/mm] + [mm]2^5[/mm] ..+ [mm]n^5[/mm] = [mm]\frac{n^2\cdot{} (n+1)^2\cdot{}(2n^2+2n-1)}{12}[/mm]
>
> > I.Schritt n-> n+1
> > ZZ.:
> [mm]\frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12}=\frac{n^2\cdot{} (n+1)^2\cdot{}(2n^2+2n-1)}{12}[/mm]
> + [mm](n+1)^5[/mm]
> >
> [mm]\frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12}[/mm]
> > =
> [mm]\frac{(n^2+2n+1)\cdot{}(n^2+4n+4)\cdot{}(2n^2+4n+2+2n+2-1)}{12}[/mm]
> > =
> [mm]\frac{(n^2+2n+1)\cdot{}(n^2+4n+4)\cdot{}(2n^2+6n+3)}{12}[/mm]
> =
> [mm]\frac{(n^2+2n+1)\cdot{}(n^2+4n+4)\cdot{}(2*(n+1)^2+2*(n+1)-1)}{12}[/mm]
>
> SO das hab ich mal .
> Ich seh die Induktionsvorrausetzung leider noch immer
> nicht ;(.
Es ist doch:
[mm]n^2+2n+1=\left(n+1\right)^{2}[/mm]
[mm]n^2+4n+4=\left( \ \left(n+1\right) +1 \ \right)^{2}[/mm]
> Ich weiß es ist schwer mit mir ..
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hei,Und was bringt uns das?
Wir haben dasselbe wie am Anfang?
Ich habe es ausmultipliziert und du hast es wieder rausfaktorisiert..Was hat das jetzt gebrachT?
LG
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Hallo quasimo,
> Hei,Und was bringt uns das?
>
> Wir haben dasselbe wie am Anfang?
> Ich habe es ausmultipliziert und du hast es wieder
> rausfaktorisiert..Was hat das jetzt gebrachT?
>
Setzt [mm]\tilde{n}=n+1[/mm]. dann steht die I.V. da.
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich glaube wir reden anneinander vorbei.
Ich beginne mit der selben Seite an der ich auch ankomme, nach deinen Anweisungen..
Ich habe ja statt n, n+1 eingesetzt in die Formel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
klammere aus [mm] \frac{n^2\cdot{} (n+1)^2\cdot{}(2n^2+2n-1)+12(n+1^5}{12} [/mm] $
[mm] \frac{(n+1)^2}{12} [/mm] aus, ebenso aus der Ind Beh.
dann ist es am schnellsten den rest auszumultiplizieren und zu verifizieren, dass es richtig ist, alls andere ist mühsamer.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo ;)
Naja das finde erst recht viel arbeit,
[mm] (n+1)^5 [/mm] aufzulösen und alles zu multiplizieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Fr 16.03.2012 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
ich habe den Eindruck, hier hat man sich "verlaufen".
Am Anfang der Diskussion zur vollständigen Induktion schreibt doch quasimo, welche Gleichung zu zeigen ist.
Bringen wir beide Seiten dieser Gleichung auf die gleiche Form, so ist sie doch bewiesen:
Rechte Seite auf einen Bruch (Nenner 12) bringen, [mm] (n+1)^{2} [/mm] ausklammern, Rest ausmultiplizieren und zusammenfassen.
Linke Seite [mm] (n+1)^{2} [/mm] ausklammern, Rest ausmultiplizieren und zusammenfassen.
Fertig
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 16.03.2012 | | Autor: | quasimo |
ZZ.:$ [mm] \frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12}=\frac{n^2\cdot{} (n+1)^2\cdot{}(2n^2+2n-1)}{12} [/mm] $ + $ [mm] (n+1)^5 [/mm] $
> Rechte Seite auf einen Bruch (Nenner 12) bringen
[mm] \frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12} =\frac{n^2 (n+1)^2(2n^2+2n-1) +12(n+1)^5}{12}
[/mm]
> $ [mm] (n+1)^{2} [/mm] $ ausklammern
[mm] \frac{(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12} =\frac{n^2 (2n^2+2n-1) +12(n+1)^5}{12}
[/mm]
> Rest ausmultiplizieren und zusammenfassen.
[mm] \frac{(n^2+4n+4)*(2n^2+6n+3)}{12} =\frac{n^2 (2n^2+2n-1) +12(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n +1)}{12}
[/mm]
[mm] 2n^4+8n^3+8n^2+6n^3+24n+3n^2+12n+12 [/mm] = [mm] 2n^4+2n^3-n^2+12n^4+60n^4+120n^3+120n^2+60n+12
[/mm]
Also irgendwas hab ich da falsch verstanden oder ich krieg da grad einfach nicht hin!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Puh, wie unübersichtlich ...
> > [mm](n+1)^{2}[/mm] ausklammern
> [mm]\frac{(n+2)^2\cdot{}(2(n+1)^2+2(n+1)-1)}{12} =\frac{n^2 (2n^2+2n-1) +12(n+1)^5}{12}[/mm]
Hier muss es doch ganz hinten im rechten Bruch lauten: [mm] $...+12*(n+1)^{\red{3}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 17.03.2012 | | Autor: | quasimo |
danke, schwere Geburt aber dann hat es geklappt!
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hier![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
