Teilbarkeit durch 6 von n^3-n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Do 09.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | n [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
Beweisen Sie das [mm] n^{3}-n|6 [/mm] |
Guten Abend Liebe Gemeinde!
IA: n=1
1-1|6
0|6 [mm] \Rightarrow [/mm] w.A.
IS: n [mm] \rigtharrow [/mm] n+1
[mm] (n+1)^{3}-(n+1)
[/mm]
[mm] =n^{3}-n+3n^{2}+3n
[/mm]
[mm] n^{3}-n|6 [/mm] = IV
3n|6 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] >1
[mm] 3n^{2}|6 \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] >1
[mm] \Rigtharrow n^{3}-n+3n^{2}+3n|6 [/mm] da die Summe von durch 6 teilbaren [mm] \in [/mm] auch durch 6 teilbar ist.
Ist der Beweis OK?
Für n=1 wurde ja gezeigt das es durch 6 teilbar ist im Induktionsanfang. für alle anderen N lässt sich durch den Induktionsschritt zeigen das sie durch 6 teilbar sind... oder?
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Hi,
> n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> Beweisen Sie das [mm]n^{3}-n|6[/mm]
>
>
> Guten Abend Liebe Gemeinde!
>
> IA: n=1
> 1-1|6
> 0|6 [mm]\Rightarrow[/mm] w.A.
>
> IS: n [mm]\rigtharrow[/mm] n+1
>
> [mm](n+1)^{3}-(n+1)[/mm]
> [mm]=n^{3}-n+\red{3n^{2}+3n}[/mm]
>
> [mm]n^{3}-n|6[/mm] = IV
>
> 3n|6 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm] >1
Halt ich für ein Gerücht! 3*3=9 und ist nicht durch die 6 teilbar.
>
> [mm]3n^{2}|6 \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm] >1
Das Gleiche [mm]6\not | 3*3^2=27[/mm]
>
> [mm]\Rigtharrow n^{3}-n+3n^{2}+3n|6[/mm] da die Summe von durch 6
> teilbaren [mm]\in[/mm] auch durch 6 teilbar ist.
>
> Ist der Beweis OK?
[mm]\red{3n^{2}+3n}=3(n^2+n)=3*n*(n+1)[/mm]
Hier kannst du weitermachen: Begründe warum 6 die [mm] $3*n*(n+1)\;$ [/mm] teilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 09.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
oh danke wiescho, danke abakus!
da hab ich mich ja übel vertan mit 3n|6 ^^
es ist halt in dem Buch beim Kapitel "Vollständige Induktion"... also why not
IA: n=1
6|1-1
6|0 [mm][mm] \Rightarrow [/mm] w.A.
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (n+1)^{3}-(n+1)
[/mm]
[mm] =n^{3}-n+3n^{2}+3n
[/mm]
[mm] 6|n^{3}-n [/mm] = IV
[mm] {3n^{2}+3n}=3(n^2+n)=3*n*(n+1) [/mm] (®wiescho)
6|3*2
2|n*(n+1) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] weil entweder n oder n+1 gerade sein muss und daher auch das produkt der beiden
[mm] \Rightarrow [/mm] 6|3*n*(n+1)
[mm] \Rightarrow 6|(n+1)^{3}-(n+1)
[/mm]
so auch ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Do 09.06.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo elmanuel!
> so auch ok?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Do 09.06.2011 | | Autor: | elmanuel |
dann kann ich ja beruhigt schlafen gehen :)
thx @ all und gn8
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Do 09.06.2011 | | Autor: | abakus |
> n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> Beweisen Sie das [mm]n^{3}-n|6[/mm]
Hallo,
das soll sicher heißen: [mm] 6|(n^3-n).
[/mm]
Es gilt [mm] n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)*n*(n+1).
[/mm]
Da musst du nicht mit Induktion draufhauen.
Begründe, dass das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
Gruß Abakus
>
>
> Guten Abend Liebe Gemeinde!
>
> IA: n=1
> 1-1|6
> 0|6 [mm]\Rightarrow[/mm] w.A.
>
> IS: n [mm]\rigtharrow[/mm] n+1
>
> [mm](n+1)^{3}-(n+1)[/mm]
> [mm]=n^{3}-n+3n^{2}+3n[/mm]
>
> [mm]n^{3}-n|6[/mm] = IV
>
> 3n|6 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm] >1
>
> [mm]3n^{2}|6 \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm] >1
>
> [mm]\Rigtharrow n^{3}-n+3n^{2}+3n|6[/mm] da die Summe von durch 6
> teilbaren [mm]\in[/mm] auch durch 6 teilbar ist.
>
> Ist der Beweis OK?
>
> Für n=1 wurde ja gezeigt das es durch 6 teilbar ist im
> Induktionsanfang. für alle anderen N lässt sich durch den
> Induktionsschritt zeigen das sie durch 6 teilbar sind...
> oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Do 09.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich habs leider auch von hinten gelesen.
Du darfst auch ruhig mal meinen Text anpranger. Ich hatte es auch nicht gesehen.
oben sieht man dann ja auch, dass n oder n+1 gerade ist und somit das Produkt [mm] 3\cdot{}n\cdot{}(n+1)\; [/mm] den Teiler 6 hat.
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