Teilbarkeit und Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Wenn [mm] 2\not|n [/mm] => [mm] 8|(n^2+23)
[/mm]
2) [mm] 13|(4^{2n+1}+3^{n+2}) [/mm] |
Man könnte diese beiden Folgerungen natürlich beweisen, indem bei bei 1, n als ung. Zahl darstellt, einsetzt etc., und bei 2 voll. Ind. anwenden.
Ich möchte es aber nun mit Kongruenzen lösen, habe aber noch keine genaue Idee.
Bei 1) wäre ich anfangs so vorgegangen: n mod = a mit [mm] a\not=0, [/mm] daraus soll nun [mm] n^2+23 [/mm] mod 8=0 gefolgert werden.
Bei 2) so ähnlich: z.z: [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] mod 13=0
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moin,
Willst du den ersten mit Kongruenzen lösen, so musst du dir überlegen, was ungerade Zahlen (mod 8) sein können.
Ist $n$ ungerade, so ist $n [mm] \in \{1,3,5,7\} [/mm] + [mm] 8\IZ$.
[/mm]
Nun musst du für alle 4 Möglichkeiten [mm] $n^2 [/mm] + 23 $(mod 8) berechnen und gucken was rauskommt.
Beim zweiten Teil können wir das (mod 13) auch erstmal vereinfachen:
[mm] $4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2} \equiv 4*3^n [/mm] + [mm] 9*3^n$ [/mm] (mod 13)
Diese Kongruenz begründen und den Rest machen darfst du. ;)
lg
Schadowmaster
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Hallo Schadowmaster
1) ist mir nun klar, ein Fall wäre z.B n=1+8k [mm] k\in\IC
[/mm]
=> [mm] (1+8k)^2+23 [/mm] => [mm] 24+16k+64k^2 [/mm] mod 8=0 da 8 durch jedes Glied teilbar ist.
Analog die anderen Fälle.
Bei 2) ist mir deine Kongruenz etwas unklar. Den 2.Term [mm] 3^{n+2} [/mm] hast du umgeschrieben zu [mm] 9*3^{n}, [/mm] aber woher kommt [mm] 4*3^n [/mm] ?
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> 1) ist mir nun klar, ein Fall wäre z.B n=1+8k [mm]k\in\IC[/mm]
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> => [mm](1+8k)^2+23[/mm] => [mm]24+16k+64k^2[/mm] mod 8=0 da 8 durch jedes
> Glied teilbar ist.
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> Analog die anderen Fälle.
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> Bei 2) ist mir deine Kongruenz etwas unklar. Den 2.Term
> [mm]3^{n+2}[/mm] hast du umgeschrieben zu [mm]9*3^{n},[/mm] aber woher kommt
> [mm]4*3^n[/mm] ?
[mm] $4^{2n+1} [/mm] = [mm] 4*(4^2)^n [/mm] = [mm] 4*16^n \equiv 4*3^n$ [/mm] (mod 13)
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