www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Teilbarkeitslehre
Teilbarkeitslehre < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Teilbarkeitslehre: Aufgabe zu Teilbarkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Sa 12.05.2018
Autor: mathelernender

Aufgabe
a) Bestimme alle n [mm] \in \IN [/mm] mit teilerzahl(n) = 20 und teilersumme(n) < 2500.  
b) Bestimme alle natürlichen Zahlen, in deren kanonische PFZ genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau 30 natürliche Teiler haben.

Hallo,
ich bearbeite aktuell die o.g. Aufgaben. Bei a) habe ich aktuell folgende Gedanken gemacht:

Da die Anzahl der Teiler genau 20 sein soll, heißt das, dass folgendes gilt:
20 = teilerzahl(n) = [mm] (m_{1} [/mm] + [mm] 1)*(m_{2} [/mm] + 1) * ... * [mm] (m_{k} [/mm] + 1)

wobei die [mm] m_{i} [/mm] die Exponenten der PFZ von n sind. Die 20 hat genau 6 Teiler. Ich folgere nun daraus, dass n eine Zahl ist, die aus maximal 6 verschiedenen Primfaktoren besteht. Soweit korrekt? Nur kann ich mit der Erkenntnis noch nicht viel anfangen.

Die Teilersumme soll ja auch < 2500 sein. Was ich daraus ableiten soll, ist mir auch noch unklar...

Kann mir jemand vielleicht einen Schubs in die richtige Richtung geben?

Viele Grüße,
mathelernender

        
Bezug
Teilbarkeitslehre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Sa 12.05.2018
Autor: HJKweseleit


> a) Bestimme alle n [mm]\in \IN[/mm] mit teilerzahl(n) = 20 und
> teilersumme(n) < 2500.  
> b) Bestimme alle natürlichen Zahlen, in deren kanonische
> PFZ genau 4 verschiedene Primzahlen vorkommen und die genau
> 30 natürliche Teiler haben.
>  Hallo,
>  ich bearbeite aktuell die o.g. Aufgaben. Bei a) habe ich
> aktuell folgende Gedanken gemacht:
>  
> Da die Anzahl der Teiler genau 20 sein soll, heißt das,
> dass folgendes gilt:
>  20 = teilerzahl(n) = [mm](m_{1}[/mm] + [mm]1)*(m_{2}[/mm] + 1) * ... *
> [mm](m_{k}[/mm] + 1)
>  
> wobei die [mm]m_{i}[/mm] die Exponenten der PFZ von n sind. Die 20
> hat genau 6 Teiler.

[ok]



Fangen wir mal an:

20=20*1=(19+1)(0+1) wäre eine Kombination [mm] p^{19} [/mm] mit einer Primzahl p.
Nun ist aber die kleinste Primzahl die 2, aber [mm] 2^{19} [/mm] >2500 kommt nicht in Frage und damit auch alle p>2 nicht. Diese Kombination scheidet somit aus.

20=10*2=(9+1)(1+1) wäre eine Kombination [mm] p_1^{9}*p_2 [/mm] mit zwei verschiedenen Primzahlen.
Die kleinste Möglichkeit dafür wäre [mm] 2^9 [/mm] * 3 = 512*3. Die nächste Möglichkeit, [mm] 2^9*5 [/mm] = 512*5>2500 scheidet schon wieder aus. Für [mm] p_1 [/mm] > 2 ist schon [mm] p_1^9 [/mm] > 2500, es gibt somit nur diese Lösung.

Nun machst du weiter mit 20=5*4 und probierst mit den Primzahlen 2 und 3, 2 und 5, 3 und 5, ...

Dann versuchst du, 20 in 3 Faktoren zu zerlegen:

20 = 5*2*2  ---> [mm] p_1^4 [/mm] * [mm] p_2 [/mm] * [mm] p_3 [/mm]


Und immer schön unter 2500 bleiben...




Ich folgere nun daraus, dass n eine

> Zahl ist, die aus maximal 6 verschiedenen Primfaktoren
> besteht. Soweit korrekt? Nur kann ich mit der Erkenntnis
> noch nicht viel anfangen.
>
> Die Teilersumme soll ja auch < 2500 sein. Was ich daraus
> ableiten soll, ist mir auch noch unklar...
>  
> Kann mir jemand vielleicht einen Schubs in die richtige
> Richtung geben?
>  
> Viele Grüße,
>  mathelernender


Bezug
                
Bezug
Teilbarkeitslehre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Sa 12.05.2018
Autor: mathelernender

Alles klar, vielen Dank für den Input.

Soweit ist mir die konstruktive herangehensweise klar. Nach der Zerlegung in 3 Faktoren und deren Kombinationen bin ich ja damit durch. Die PFZ von 20 ist 2*2*5, d.h. mehr als 3 Faktoren bekommt man nicht hin, richtig?

So dann zu den Zerlegungen selber, insbesondere zu der mit 3 Faktoren:

Da treten sehr viele Kombinationen auf. Wenn man es durchgeht startet man mit:
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 5
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 7
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 11
... bis:
[mm] 2^{4} [/mm] * 3 * 47 = 2256 (wobei es unwahrscheinlich ist, das die Teilersumme < 2500 bleibt).

Dann macht man weiter mit:
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 7
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 11
... bis:
[mm] 2^{4} [/mm] * 5 * 31 = 2480  (wobei es unwahrscheinlich ist, das die Teilersumme < 2500 bleibt).

Das ganze Spielchen macht man bis zur Kombination:
[mm] 2^{4} [/mm] * 11 * 13

Jetzt ginge es ja weiter mit:
[mm] 3^{4} [/mm] * 2 * 5

...

Kann man das nicht etwas einfacher oder systematischer hinbekommen? Oder mache ich was falsch?


und zur Aufgabe b):
Gibt es da überhaupt eine Lösung zu? Ich kann die 30 gar nicht als Produkt mit 4 Faktoren schreiben: 2*3*5 = 30, aber einen 4. Faktor bekomme ich da nicht rein, ausser der 1. Also 1 * 2* *3 * 5 = 30.

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeitslehre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mo 14.05.2018
Autor: donquijote


> Alles klar, vielen Dank für den Input.
>

Hallo,

> Soweit ist mir die konstruktive herangehensweise klar. Nach
> der Zerlegung in 3 Faktoren und deren Kombinationen bin ich
> ja damit durch. Die PFZ von 20 ist 2*2*5, d.h. mehr als 3
> Faktoren bekommt man nicht hin, richtig?

ja

>  
> So dann zu den Zerlegungen selber, insbesondere zu der mit
> 3 Faktoren:
>  
> Da treten sehr viele Kombinationen auf. Wenn man es
> durchgeht startet man mit:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 5
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 7
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 11
>  ... bis:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 3 * 47 = 2256 (wobei es unwahrscheinlich ist, das
> die Teilersumme < 2500 bleibt).
>  
> Dann macht man weiter mit:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 7
>  [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 11
>  ... bis:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 5 * 31 = 2480  (wobei es unwahrscheinlich ist, das
> die Teilersumme < 2500 bleibt).
>  
> Das ganze Spielchen macht man bis zur Kombination:
>  [mm]2^{4}[/mm] * 11 * 13

Die Bedingung an die Teilersumme (die sich ja auch durch eine relativ einfache Formel berechnen lässt) schränkt die Zahl der Lösungen schon ziemlich ein.
Für Zahlen der Form  [mm]2^{4}*p*q[/mm] ist sie nur erfüllt, wenn [mm](p+1)*(q+1)\le 80[/mm].

>  
> Jetzt ginge es ja weiter mit:
>  [mm]3^{4}[/mm] * 2 * 5

Und das ist auch schon die einzige Lösung der Form [mm]p^4*q*r[/mm] mit p>2.

>  
> ...
>  
> Kann man das nicht etwas einfacher oder systematischer
> hinbekommen? Oder mache ich was falsch?

Ich sehe keinen einfacheren Weg, systematisch ist das schon so.

>  
>
> und zur Aufgabe b):
>  Gibt es da überhaupt eine Lösung zu? Ich kann die 30 gar
> nicht als Produkt mit 4 Faktoren schreiben: 2*3*5 = 30,
> aber einen 4. Faktor bekomme ich da nicht rein, ausser der
> 1. Also 1 * 2* *3 * 5 = 30.  

Sehe ich auch so. Und damit gibt es zu Aufgabenteil b) eine einfache Antwort.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 3h 48m 4. HJKweseleit
GraphTheo/Zusammenhängender Zufallsgraph
Status vor 8h 16m 2. Siebenstein
UElek/Leitungsumrechnung
Status vor 8h 57m 6. HJKweseleit
ULinAAb/Kern und Bild bestimmen
Status vor 9h 22m 3. Ataaga
SGeradEbene/Abstand eines Punktes
Status vor 13h 29m 5. Dom_89
DiffGlGew/Lösung der DGL
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de