Teilchen im Potential < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:09 Fr 30.03.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.
Ein teilchen ist im Potential U(x). Für das Potential gilt
[mm] U(x)=\begin{cases} U_{0}, & a{\le}x{\le}b ; c{\le}x{\le}d \\ \infty, & x{\le}0 ; b{\le}x{\le}c \\ 0, & 0{\le}x{\le}a ; x{\ge}d\end{cases}
[/mm]
a) Formulieren der Lösung der SGL (nur den Ansatz)
b) Struktur der Wellenfunktion im Bereich [mm] -{\infty}{\le}x{\le}\infty
[/mm]
c) Welche Bedingungen sind an die Koeffizienten zu stellen?
d) Wie lautet die Normierungsbedingung?
e) Welche Aussagen lassen sich zu den Energieeigenwerten treffen?
Ich habe ( h immer h-quer):
a) Ich teil das Problem hier in 6 Bereiche auf [mm] x{\le}0 [/mm] ; [mm] 0{\le}x{\le}a [/mm] ; [mm] a{\le}x{\le}b [/mm] ; [mm] b{\le}x{\le}c [/mm] ; [mm] c{\le}x{\le}d [/mm] ; [mm] x{\ge}d
[/mm]
Die SGL lautet [mm] [-\bruch{h^2}{2m}{\Delta}+V(x)]\Psi=E\Psi. [/mm] Damit folgt [mm] {\Psi}''+k\Psi=0 [/mm] mit [mm] k=\bruch{2m}{h^2}(E-V). [/mm] Somit kriege ich verschiedene k's und mit dem allg. Ansatz zur Lösung der DGL für jeden Bereich eine Wellenfunktion:
[mm] {\Psi}_{1}=A_{1}e^{ik_{1}x}+B_{1}e^{-ik_{1}x}
[/mm]
[mm] {\Psi}_{2}=A_{2}e^{ik_{2}x}+B_{2}e^{-ik_{2}x}
[/mm]
.
.
.
Wobei [mm] \Psi_{1}=\Psi_{4}=0, [/mm] da das Potential da jeweils [mm] \infty [/mm] ist und [mm] k_{2}=k_{6} [/mm] und [mm] k_{3}=k_{5}
[/mm]
Dann gibt es noch die Stetigkeitsbedingungen, um die A's und B's zu berechnen: [mm] \Psi_{2}(a)=\Psi_{3}(a), \Psi_{2}'(a)=\Psi_{3}'(a), [/mm] ......
b)
In Bereichen unendlichen Potentials ist sie konstant Null und in den anderen Bereichen, hat sie als Lösungen Sinus- oder Kosinusfunktionen. Falls die Energie kleiner als [mm] V_{0} [/mm] ist, wird sie etwas in die Potentialstufen reinreichen. Für Energien größer als [mm] V_{0} [/mm] hat man im linken "Topf" stehende Wellen und rechts eine laufende Welle.
c)
Die Stetigkeitsbedingungen für die Koeffizienten A und B habe ich in a) eigentlich schon genannt.
d)
Bei der Normierung bin ich mir nicht ganz sicher. Eigentlich müsste ich die Wellenfunktionen der einzelnen Abschnitte zusammenfügen und die Summe dann normieren. Nur finde ich das mit dem unendlichen Potential in der Mitte merkwürdig. Ein Teilchen kann ja das unendliche Potential nicht überwinden und kommt somit von links nicht nach rechts und umgekehrt.
e)
Im linken Teil sind nur diskrete Energien möglich, wogegen im rechten Teil kontinuierliche Energiewerte möglich sind.
Ist das so ausführlich, oder habe ich da was vergessen?
Viele Grüße,
volk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 01.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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