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Forum "Physik" - Teilchen im Zentralkraftfeld
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Teilchen im Zentralkraftfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Do 27.01.2011
Autor: Theoretix

Aufgabe
Ein Teilchen der Masse m besitze in einem Kraftfeld das Potential [mm] V(\vec{r})=\bruch{\alpha}{r^2}. [/mm] Das Effektive Potential [mm] V_{eff} [/mm] sei:
[mm] V_{eff}(r)=\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2} [/mm]
b) Berechnen Sie [mm] r_{min} [/mm] als Funktion von L(Drehimpuls) und E(Energie)

Hallo zusammen,

Angesetzt habe ich über die Energieerhaltung:

[mm] E_{ges}=E_{kin}+E_{pot} [/mm]

Also:E=[mm]\bruch{m}{2}\dot r^2[/mm][mm] +\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2} [/mm]

So mein Ziel ist es ja jetzt die Bahn r in Abhängigkeit von t zu bestimmen. Und diese Zeitabhängigkeit wird wohl in dem [mm]\dot r[/mm] stecken. D.h. ich stelle das ganze nach [mm]\dot r[/mm] um, schreibe das als:  [mm]\dot r[/mm][mm] =\bruch{dr}{dt}, [/mm] trenne die Variablen und dann geht der Spaß wahrscheinlich erst richtig los..?!

Wenn ich das also umforme und zu einem Bruch zusammenfasse(also mit erweitern), bekomme ich:

[mm] \bruch{dr}{dt}=\wurzel{\bruch{-2L^2-4\alpham-4Emr^2}{2m^2r^2}} [/mm]

(das [mm] m^2 [/mm] im Nenner bekommt man ja, wenn man durch [mm] „\bruch{m}{2}“ [/mm] teilt)

Bevor ich weiter mache: Ist die Vorgehensweise bisher korrekt und wird das wirklich so ein ekliges Integral, oder kann man das irgendwie recht leicht lösen?

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!

Gruß

        
Bezug
Teilchen im Zentralkraftfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 27.01.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Ein Teilchen der Masse m besitze in einem Kraftfeld das
> Potential [mm]V(\vec{r})=\bruch{\alpha}{r^2}.[/mm] Das Effektive
> Potential [mm]V_{eff}[/mm] sei:
>  [mm]V_{eff}(r)=\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2}[/mm]
>  b) Berechnen Sie [mm]r_{min}[/mm] als Funktion von L(Drehimpuls)
> und E(Energie)
>  Hallo zusammen,
>  
> Angesetzt habe ich über die Energieerhaltung:
>  
> [mm]E_{ges}=E_{kin}+E_{pot}[/mm]
>  
> Also:E=[mm]\bruch{m}{2}\dot r^2[/mm][mm] +\bruch{L^2}{2mr^2}+\bruch{\alpha}{r^2}[/mm]
>  
> So mein Ziel ist es ja jetzt die Bahn r in Abhängigkeit
> von t zu bestimmen. Und diese Zeitabhängigkeit wird wohl
> in dem [mm]\dot r[/mm] stecken. D.h. ich stelle das ganze nach [mm]\dot r[/mm]
> um, schreibe das als:  [mm]\dot r[/mm][mm] =\bruch{dr}{dt},[/mm] trenne die
> Variablen und dann geht der Spaß wahrscheinlich erst
> richtig los..?!
>  
> Wenn ich das also umforme und zu einem Bruch
> zusammenfasse(also mit erweitern), bekomme ich:
>  
> [mm]\bruch{dr}{dt}=\wurzel{\bruch{-2L^2-4\alpham-4Emr^2}{2m^2r^2}}[/mm]
>  
> (das [mm]m^2[/mm] im Nenner bekommt man ja, wenn man durch
> [mm]„\bruch{m}{2}“[/mm] teilt)
>  
> Bevor ich weiter mache: Ist die Vorgehensweise bisher
> korrekt und wird das wirklich so ein ekliges Integral, oder
> kann man das irgendwie recht leicht lösen?

Das ist relativ einfach, du hast es nur ungeschickt umgeformt. Ich fange mal von vorne an:

[mm]\dot{r}^2 = \bruch{2}{m} \left(E-\bruch{L^2}{2mr^2} + \bruch{\alpha}{r^2}\right) = \bruch{2}{m} \Biggl(E +\bruch{1}{r^2} \underbrace{\left(\alpha - \bruch{L^2}{2m} \right)}_{\mbox{$=:\beta$}}\Biggr)[/mm] .

Nach Multiplikation mit [mm] $r^2$: [/mm]

[mm] (r\dot{r})^2 = \bruch{2}{m}(Er^2 + \beta) [/mm]

bietet sich die Substitution [mm] $z=r^2$ [/mm] an:

[mm] \bruch{1}{4}\dot{z}^2 = \bruch{2}{m}(E z + \beta) [/mm] .

Das entstehende Integral ist nicht weiter schwer.

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Teilchen im Zentralkraftfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Do 27.01.2011
Autor: Theoretix

Danke für die Antwort, aber hierzu noch Fragen:

[mm] \beta:=\aloha-\bruch{L^2}{2m} [/mm] definieren wir der Einfachheit halber so, weil alles konstanten sind oder?
Bei der Gleichung: ([mm]r\dot r[/mm][mm] )^2=\bruch{2}{m}(Er^2+\beta) [/mm]
komme ich nach Substutution [mm] z=r^2 [/mm] auf:

[mm]z\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(Ez+beta)=[/mm] [mm]\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(E+\bruch{\beta}{z}) [/mm] ? oder nicht?

Gruß



Bezug
                        
Bezug
Teilchen im Zentralkraftfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 27.01.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Danke für die Antwort, aber hierzu noch Fragen:
>  
> [mm]\beta:=\alpha-\bruch{L^2}{2m}[/mm] definieren wir der
> Einfachheit halber so, weil alles konstanten sind oder?

Ja.

>  Bei der Gleichung: ([mm]r\dot r[/mm][mm] )^2=\bruch{2}{m}(Er^2+\beta)[/mm]
>  
> komme ich nach Substutution [mm]z=r^2[/mm] auf:
>  
> [mm]z\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(Ez+beta)=[/mm] [mm]\dot r^2[/mm][mm] =\bruch{2}{m}(E+\bruch{\beta}{z})[/mm]
> ? oder nicht?

Nein. Du kannst doch nicht [mm] $\dot{r}$ [/mm] einfach stehen lassen! Was ist [mm] $\dot{z}$ [/mm] ?

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
                
Bezug
Teilchen im Zentralkraftfeld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Do 27.01.2011
Autor: Theoretix

Da hast du natürlich recht!

wenn ich [mm] r^2=z [/mm] substituiere, gilt dann auch [mm]\dot r^2[/mm]=[mm]\dot z[/mm]? Oder wie wird das dann substituiert?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Teilchen im Zentralkraftfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:20 Fr 28.01.2011
Autor: leduart

Hallo
Rainer hat das doch schon im ersten post geschrieben :
$ [mm] \dot r^2 [/mm] $=$2* [mm] \dot [/mm] r*r $? (Kettenregel)
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Teilchen im Zentralkraftfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:28 Fr 28.01.2011
Autor: Kroni

Hi,

die Notation ist etwas ungluecklich, denn man kann

[mm] $\dot{r}^2$ [/mm] auch als [mm] $\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} r\right)^2$ [/mm] verstehen.

Hier ist aber mit der Ableitung das gemeint (was hoffentlich sowieso klar war)

[mm] $z=r^2 \Rightarrow \frac{\mathrm d }{\mathrm d t} [/mm] z = [mm] \dot [/mm] z = [mm] \frac{\mathrm d }{\mathrm d t} r^2 [/mm] = [mm] 2r\dot [/mm] r$

LG

Kroni


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