Teildreiecke von Vierecken < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:34 Di 28.09.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo, ich hab hier eine leichte Geometrie-Aufgabe, deren Lösung ich heute in der U-Bahn erarbeitet habe.
Ich stelle sie hier trotzdem, um euch eine kleine Freude zu machen 
Bestimme alle konvexen Vierecke mit folgender Eigenschaft:
Die vier kleinen Teildreiecke, die durch die Seiten und die Diagonalen des Vierecks begrenzt werden, haben denselben Flächeninhalt. Also: Ist ABCD ein konvexes Viereck und M der Schnittpunkt der Diagonalen, dann haben die Dreiecke ABM, BCM, CDM, DAM dieselbe Fläche.
Gruss,
SirJective
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Eine schöne Aufgabe. Aber ich fürchte es gibt nur einen einzigen funktionierenden Lösungsansatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Do 30.09.2004 | | Autor: | SirJective |
Mit Hannos Lösung kenn ich schon zwei Ansätze, die sich in der Ausführung unterscheiden.
Beide nehmen aber den Weg über die halbierten Diagonalen, meinst du das mit "nur einem funktionierenden Lösungsansatz"?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:53 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Christian!
Wir betrachten eine Diagonale. Sie bildet die Basis für zwei Dreiecke, die auf ihr stehen und welche den gleichen Flächeninhalt haben sollen. Da beide Dreiecke auf der Diagonale die gleiche Höhe haben, muss auch ihre Basis gleich sein, damit sie den gleichen Flächeninhalt besitzen. Folglich muss die zweite Diagonale die gerade angesprochene in der Hälfte teilen. Die gleiche Argumentation können wir auf die zweite Diagonale anwenden und erhalten als Resultat:
Es können nur die Dreiecke flächengleich sein, die in einem konvexen Viereck liegen, in welchem sich die Hauptdiagonalen (nennt man die so?) teilen. Dann und nur dann sind die flächengleich.
Die Flächengleichheit folgt aus der Tatsache, dass, da sich die Diagonalen teilen, die Höhen der Dreiecke, die einmal auf einer Diagonalen und und einmal unterhalb dieser stehen, gleich sind (eine Diagonale teilt genau in ihrem (gemeinsamen) Mittelpunkt. Folglich ist die andere Hälfte der Diagonalen nur eine punktspiegelung um eben diesen Mittelpunkt)
Dies führt auch scon zum Ergebnis: das konvexe Viereck muss ein Parallelogramm sein.
Gruß,
Hanno
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Hallo Hanno,
Ich glaube, du meinst das richtige. Um sicherzugehen, bitte ich dich, deine Diagonalen und alle Strecken, die du in deiner Argumentation benötigst zu benennen. So können wir auch noch die letzten möglichen Missverständnisse/Fehler ausräumen.
Für die Rückrichtung (aus dem halbierten Diagonalen folgt Flächengleichheit) kannst du genauso wie für die Hinrichtung mit den beiden oberhalb der Diagonale liegenden Dreiecken argumentieren. Das ist etwas kürzer als deine Idee.
Lieben Gruss,
C&A 
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Hi SirJective,
also ich gehe davon als, dass die einzige praktikable Lösung darin besteht, sich erst einmal eine der beiden (im Inneren verlaufenden) Diagonalen zu nehmen, z.B. AC
Der Schnittpunkt der Diagonalen heißt ja M.
Aufgrund der Tatsache, dass die Höhen von AMD und CMD gleich sind, müssen bei Flächengleichheit der Dreiecke auch die Grundseiten gleich sein. Also wird AC von der Diagonalen BD halbiert. Das gleiche Argument erhielte man auch über die Dreiecke AMB und CMB.
Analog begründet man, dass auch DB von AC halbiert wird.
Ergo muss bei Flächengleichheit aller vier Dreiecke gelten, dass die Diagonalen des Vierecks sich gegenseitig halbieren. Ein solches Viereck hießt Parallelogramme.
Umgekehrt ist offensichtlich, dass die vier Dreiecke im Parallelogramm flächengleich sind.
Ich wüsste nicht, wie man auf einem anderen Weg zu dieser Erkenntis kommen soll.
Hugo
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