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Forum "Zahlentheorie" - Teiler
Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Mi 14.03.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
1) Zeige (a-b) teil [mm] (a^n [/mm] - [mm] b^n) \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm]

2) Zeige wenn 2 teilt nicht n => 8 teilt [mm] n^2 [/mm] +23

Hi

1)
Dachte an Induktion
I.Anfang n=1 (a-b) teil (a-b)
I.V [mm] (a^k [/mm] - [mm] b^k) [/mm] = m * (a-b)
I.S [mm] (a^{k+1} [/mm] - [mm] b^{k+1}) [/mm] = [mm] a*(a^k -b^k) [/mm] + [mm] b*(a^k -b^k) [/mm]

Das ist glaub ich falsch oder führt nicht zum Ziel!
Wie gehts die Insuktion am besten ?

2)
wenn 2 teilt nicht n  => n ist ungerade
[mm] \exists [/mm] r [mm] \in \IN [/mm] : n = 2r -1
[mm] n^2 [/mm] + 23 = [mm] 4r^2 [/mm] - 4r +1 + 23 = 4r*(r-1) + 24

Kann ich aus dem ARgumentieren, dass es durch 8 teilt?

LG

        
Bezug
Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Mi 14.03.2012
Autor: fred97


> 1) Zeige (a-b) teil [mm](a^n[/mm] - [mm]b^n) \forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm]
>  
> 2) Zeige wenn 2 teilt nicht n => 8 teilt [mm]n^2[/mm] +23
>  Hi
>  
> 1)
>  Dachte an Induktion
>  I.Anfang n=1 (a-b) teil (a-b)
>  I.V [mm](a^k[/mm] - [mm]b^k)[/mm] = m * (a-b)
>  I.S [mm](a^{k+1}[/mm] - [mm]b^{k+1})[/mm] = [mm]a*(a^k -b^k)[/mm] + [mm]b*(a^k -b^k)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>
> Das ist glaub ich falsch oder führt nicht zum Ziel!


Es ist

                 a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}b^{n-1})


}

>  Wie gehts die Insuktion am besten ?
>  
> 2)
>  wenn 2 teilt nicht n  => n ist ungerade

>  [mm]\exists[/mm] r [mm]\in \IN[/mm] : n = 2r -1
>  [mm]n^2[/mm] + 23 = [mm]4r^2[/mm] - 4r +1 + 23 = 4r*(r-1) + 24
>  
> Kann ich aus dem ARgumentieren, dass es durch 8 teilt?

Ja: entweder ist r gerade oder r-1. Damit gibt es ein s [mm] \in \NI [/mm] mit: r*(r-1)=2s

FRED

>  
> LG


Bezug
                
Bezug
Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mi 14.03.2012
Autor: quasimo

1)
>  $ [mm] a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}b^{n-1}) [/mm] $

Du machst also keine Induktion? Rechnest du das mittels Polynomdivision oder wie kommt du auf das "Herausheben"?
Aber kann man es nicht auch mit induktion machen? Kannst du da nochmals drüberschauen

2)

> Damit gibt es ein s $ [mm] \in \NI [/mm] $ mit: r*(r-1)=2s

Ja aber wie ist da nun gezeitg, dass es durch 8 teilt. Sry, wenn ich grad am SChlauch stehe^^

Bezug
                        
Bezug
Teiler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Mi 14.03.2012
Autor: quasimo

Sry, wolte keine Mitteilung schreiben.
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Teiler: zu Aufgabe (2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mi 14.03.2012
Autor: Loddar

Hallo quasimo!


Du weißt, dass $r*(r-1)_$ eine gerade Zahl ist, dann muss $4*r*(r-1)_$ auch durch 8 teilbar sein.
Und was ist mit der 24?


Gruß
Loddar


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Teiler: zu Aufgabe (1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mi 14.03.2012
Autor: Loddar

Hallo!



> 1)
>  >  [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}b^{n-1})[/mm]
>  
> Du machst also keine Induktion? Rechnest du das mittels
> Polynomdivision oder wie kommt du auf das "Herausheben"?

MBPolynomdivision


>  Aber kann man es nicht auch mit induktion machen?

Könnte man bestimmt auch ...


> Kannst du da nochmals drüberschauen

Dein Induktionsschritt ist falsch. Deine vermeintliche Gleichheit stimmt nicht (was Du durch Ausmultiplizieren schnell selber überprüfen kannst).


Gruß
Loddar


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Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Mi 14.03.2012
Autor: quasimo

Ja stimmt, könntest du mir bei der Induktion nach EIn Abstubser geben?

Weil die Polynomdivision krieg ich nicht ganz hin, denn ich kann ja nicht unendlich oft dividieren. Die ersten zahlen krieg ich schon hin

Bezug
                                        
Bezug
Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mi 14.03.2012
Autor: reverend

Hallo quasimo,

> Ja stimmt, könntest du mir bei der Induktion nach EIn
> Abstubser geben?

Abstubser ist süß. ;-)

> Weil die Polynomdivision krieg ich nicht ganz hin, denn ich
> kann ja nicht unendlich oft dividieren.

Musst Du ja auch gar nicht, wenn n endlich ist.

> Die ersten zahlen
> krieg ich schon hin

Es ist [mm] a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+ab^n-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+b^n(a-b) [/mm]

Wenn also [mm] a^n-b^n [/mm] durch (a-b) teilbar ist, dann ist es [mm] a^{n+1}-b^{n+1} [/mm] auch.

Das kannst Du jetzt im Induktionsschritt verwenden.

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Teiler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Mi 14.03.2012
Autor: felixf

Moin!

> > Ja stimmt, könntest du mir bei der Induktion nach EIn
> > Abstubser geben?
>  
> Abstubser ist süß. ;-)

Ja :)

> > Weil die Polynomdivision krieg ich nicht ganz hin, denn ich
> > kann ja nicht unendlich oft dividieren.
>
> Musst Du ja auch gar nicht, wenn n endlich ist.

Und eigentlich musst du gar keine Polynomdivision machen.

Also du machst sie fuer kleine Werte von $n$ bis dir etwas auffaellt. Dann hast du einen Verdacht, wie das Ergebnis aussieht. Das schreibst du allgemein auf (mit Summenzeichen) und dann hast du etwas, was du explizit nachrechnen kannst.

Auf das Uebungsblatt schreibst du dann diese Rechnung und zeigst damit, dass $(x - y) [mm] \cdot [/mm] WasAuchImmer = [mm] x^n [/mm] - [mm] y^n$ [/mm] ist.

LG Felix


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