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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | 1) Zeige (a-b) teil [mm] (a^n [/mm] - [mm] b^n) \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ
[/mm]
2) Zeige wenn 2 teilt nicht n => 8 teilt [mm] n^2 [/mm] +23 |
Hi
1)
Dachte an Induktion
I.Anfang n=1 (a-b) teil (a-b)
I.V [mm] (a^k [/mm] - [mm] b^k) [/mm] = m * (a-b)
I.S [mm] (a^{k+1} [/mm] - [mm] b^{k+1}) [/mm] = [mm] a*(a^k -b^k) [/mm] + [mm] b*(a^k -b^k) [/mm]
Das ist glaub ich falsch oder führt nicht zum Ziel!
Wie gehts die Insuktion am besten ?
2)
wenn 2 teilt nicht n => n ist ungerade
[mm] \exists [/mm] r [mm] \in \IN [/mm] : n = 2r -1
[mm] n^2 [/mm] + 23 = [mm] 4r^2 [/mm] - 4r +1 + 23 = 4r*(r-1) + 24
Kann ich aus dem ARgumentieren, dass es durch 8 teilt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> 1) Zeige (a-b) teil [mm](a^n[/mm] - [mm]b^n) \forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm]
>
> 2) Zeige wenn 2 teilt nicht n => 8 teilt [mm]n^2[/mm] +23
> Hi
>
> 1)
> Dachte an Induktion
> I.Anfang n=1 (a-b) teil (a-b)
> I.V [mm](a^k[/mm] - [mm]b^k)[/mm] = m * (a-b)
> I.S [mm](a^{k+1}[/mm] - [mm]b^{k+1})[/mm] = [mm]a*(a^k -b^k)[/mm] + [mm]b*(a^k -b^k)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das ist glaub ich falsch oder führt nicht zum Ziel!
Es ist
a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}b^{n-1})
}
> Wie gehts die Insuktion am besten ?
>
> 2)
> wenn 2 teilt nicht n => n ist ungerade
> [mm]\exists[/mm] r [mm]\in \IN[/mm] : n = 2r -1
> [mm]n^2[/mm] + 23 = [mm]4r^2[/mm] - 4r +1 + 23 = 4r*(r-1) + 24
>
> Kann ich aus dem ARgumentieren, dass es durch 8 teilt?
Ja: entweder ist r gerade oder r-1. Damit gibt es ein s [mm] \in \NI [/mm] mit: r*(r-1)=2s
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
1)
> $ [mm] a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}b^{n-1}) [/mm] $
Du machst also keine Induktion? Rechnest du das mittels Polynomdivision oder wie kommt du auf das "Herausheben"?
Aber kann man es nicht auch mit induktion machen? Kannst du da nochmals drüberschauen
2)
> Damit gibt es ein s $ [mm] \in \NI [/mm] $ mit: r*(r-1)=2s
Ja aber wie ist da nun gezeitg, dass es durch 8 teilt. Sry, wenn ich grad am SChlauch stehe^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Sry, wolte keine Mitteilung schreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo quasimo!
Du weißt, dass $r*(r-1)_$ eine gerade Zahl ist, dann muss $4*r*(r-1)_$ auch durch 8 teilbar sein.
Und was ist mit der 24?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> 1)
> > [mm]a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}b^{n-1})[/mm]
>
> Du machst also keine Induktion? Rechnest du das mittels
> Polynomdivision oder wie kommt du auf das "Herausheben"?
 Polynomdivision
> Aber kann man es nicht auch mit induktion machen?
Könnte man bestimmt auch ...
> Kannst du da nochmals drüberschauen
Dein Induktionsschritt ist falsch. Deine vermeintliche Gleichheit stimmt nicht (was Du durch Ausmultiplizieren schnell selber überprüfen kannst).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Ja stimmt, könntest du mir bei der Induktion nach EIn Abstubser geben?
Weil die Polynomdivision krieg ich nicht ganz hin, denn ich kann ja nicht unendlich oft dividieren. Die ersten zahlen krieg ich schon hin
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Hallo quasimo,
> Ja stimmt, könntest du mir bei der Induktion nach EIn
> Abstubser geben?
Abstubser ist süß. 
> Weil die Polynomdivision krieg ich nicht ganz hin, denn ich
> kann ja nicht unendlich oft dividieren.
Musst Du ja auch gar nicht, wenn n endlich ist.
> Die ersten zahlen
> krieg ich schon hin
Es ist [mm] a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+ab^n-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)
[/mm]
Wenn also [mm] a^n-b^n [/mm] durch (a-b) teilbar ist, dann ist es [mm] a^{n+1}-b^{n+1} [/mm] auch.
Das kannst Du jetzt im Induktionsschritt verwenden.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mi 14.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Ja stimmt, könntest du mir bei der Induktion nach EIn
> > Abstubser geben?
>
> Abstubser ist süß.
Ja :)
> > Weil die Polynomdivision krieg ich nicht ganz hin, denn ich
> > kann ja nicht unendlich oft dividieren.
>
> Musst Du ja auch gar nicht, wenn n endlich ist.
Und eigentlich musst du gar keine Polynomdivision machen.
Also du machst sie fuer kleine Werte von $n$ bis dir etwas auffaellt. Dann hast du einen Verdacht, wie das Ergebnis aussieht. Das schreibst du allgemein auf (mit Summenzeichen) und dann hast du etwas, was du explizit nachrechnen kannst.
Auf das Uebungsblatt schreibst du dann diese Rechnung und zeigst damit, dass $(x - y) [mm] \cdot [/mm] WasAuchImmer = [mm] x^n [/mm] - [mm] y^n$ [/mm] ist.
LG Felix
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