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Forum "Zahlentheorie" - Teiler bestimmen
Teiler bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Teiler bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:26 Fr 05.01.2007
Autor: Denny22

Aufgabe
Seien

   [mm] $n_1=2^{1769}+1$ [/mm]  und  [mm] $n_2=2^{1769}-1$ [/mm]

Bestimmen Sie jeweils einen Teiler $t$ mit [mm] $1

Hallo an alle,

mir fällt gerade nicht mehr ein wie ich einen solchen Teiler finde. wäre toll wenn mir jemand einen Tipp gäbe.

Danke und Gruß
Denny

        
Bezug
Teiler bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:51 Fr 05.01.2007
Autor: felixf

Hallo Denny!

> Seien
>  
> [mm]n_1=2^{1769}+1[/mm]  und  [mm]n_2=2^{1769}-1[/mm]
>  
> Bestimmen Sie jeweils einen Teiler [mm]t[/mm] mit [mm]1
> (Tipp: [mm]1769=29\cdot{61})[/mm]
>  Hallo an alle,
>  
> mir fällt gerade nicht mehr ein wie ich einen solchen
> Teiler finde. wäre toll wenn mir jemand einen Tipp gäbe.

Tja, da denkt man, dass man eine Idee hat, und es klappt doch nicht... Ich schreib das trotzdem mal auf was ich mir gedacht hab:

Also $t$ ist ja genau dann ein Teiler von [mm] $2^{1769} \pm [/mm] 1$, wenn [mm] $2^{1769} \equiv \mp [/mm] 1 [mm] \pmod{t}$ [/mm] ist. Nun muss $t$ sowieso ungerade sein (da [mm] $n_i$ [/mm] ungerade ist), womit $2$ und $t$ teilerfremd sind; also gilt [mm] $2^{\phi(t)} \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{t}$ [/mm] (wobei [mm] $\phi$ [/mm] die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion [/mm] ist), und natuerlich auch [mm] $2^{n \phi(t)} \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{t}$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Tja, nur leider kann man 1769 nicht als $n [mm] \phi(t)$ [/mm] schreiben... Aber vielleicht bringt das jetzt jemand anderen auf ne Idee :)

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Teiler bestimmen: Teilantwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Fr 05.01.2007
Autor: statler

Guten Tag Denny!

> Seien
>  
> [mm]n_1=2^{1769}+1[/mm]  und  [mm]n_2=2^{1769}-1[/mm]
>  
> Bestimmen Sie jeweils einen Teiler [mm]t[/mm] mit [mm]1
> (Tipp: [mm]1769=29\cdot{61})[/mm]

Das Einfache zuerst:

Es gilt [mm] 2^{29}-1|n_{2} [/mm] und ebenso [mm] 2^{61}-1|n_{2}, [/mm]

weil [mm] 2^{r}-1|2^{rs}-1 [/mm] gilt.

Über das Schwierige muß ich auch noch mal nachdenken.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter




Bezug
                
Bezug
Teiler bestimmen: 2. Teil
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Fr 05.01.2007
Autor: statler

Guten Tag Denny!
>  
> > Seien
>  >  
> > [mm]n_1=2^{1769}+1[/mm]  und  [mm]n_2=2^{1769}-1[/mm]
>  >  
> > Bestimmen Sie jeweils einen Teiler [mm]t[/mm] mit [mm]1
> > (Tipp: [mm]1769=29\cdot{61})[/mm]
>  
> Das Einfache zuerst:
>  
> Es gilt [mm]2^{29}-1|n_{2}[/mm] und ebenso [mm]2^{61}-1|n_{2},[/mm]
>  
> weil [mm]2^{r}-1|2^{rs}-1[/mm] gilt.
>  
> Über das Schwierige muß ich auch noch mal nachdenken.

Wenn r und s ungerade sind, gilt doch auch
[mm]2^{r}+1|2^{rs}+1[/mm], oder?

Gruß aus HH-Harburg (zum 2.)
Dieter


Bezug
                        
Bezug
Teiler bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Fr 05.01.2007
Autor: felixf

Moin Dieter!

> Wenn r und s ungerade sind, gilt doch auch
>  [mm]2^{r}+1|2^{rs}+1[/mm], oder?

Es reicht schon, dass $s$ ungerade ist, da [mm] $X^{rs} [/mm] + 1 = [mm] (X^s [/mm] - [mm] X^{s-1}) (X^r [/mm] + 1) + [mm] (X^{r (s - 2)} [/mm] + 1)$ ist. Per Induktion folgt also, dass [mm] $X^{rs} [/mm] + 1 = p [mm] \cdot (X^r [/mm] + 1)$ ist fuer ein Polynom $p [mm] \in \IZ[X]$. [/mm]

LG Felix


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