Teiler einer Zahl, Primfaktore < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 22.11.2004 | | Autor: | JohannaB |
Ich bitte um eure Hilfe bei den folgenden Aufgaben:
1.) Bestimmen Sie (mit sorgfältiger Begründung) alle natürlichen Zahlen mit genau 7 Teilern. Geben Sie zwei davon konkret an.
2.) Begründen Sie: Es gibt keine natürlichen Zahlen mit genau drei verschiedenen Primfaktoren und genau 9 Teilern.
Kann mir die Fragen jemand beantworten. Ich wäre sehr dankbar.
Viele Grüße,
JohannaB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Di 23.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Johanna
in der Regel sollten zu den Fragen schon eigene Lösungsideen mitgeliefert werden¨
Bei a) sollte man sich überlegen, wie denn die Anzahl Teiler einer Zahl berechnet werden kann. Bekanntermassen geht das so:
Wenn die Zahl m in der Kanonischen Zerlegung vorliegt:
[mm] $m=a^{\alpha}*b^{\beta}*c^{\gamma}*...*k^{\kappa}$
[/mm]
(a,b,c,...,k sind unterschiedliche Primzahlen)
Dann errechnet sich die Anzahl Teiler so:
[mm] $(\alpha+1)*(\beta+1)*(\gamma+1)*...*(\kappa+1)$
[/mm]
Soll diese Anzahl 7 sein, also eine Primzahl, dann kann in obiger Formel nur ein einziger Faktor vorkommen. Somit muss m die Form
[mm] $m=p^{6}$ [/mm] haben, wobei p eine Primzahl ist.
Als Beispiele würde ich [mm] $2^6=64$ [/mm] und [mm] $3^6=729$ [/mm] wählen. [mm] ($10^6$ [/mm] ginge natürlich nicht, weil 10 keine Primzahl ist, wohl aber auch [mm] 5^6=3125)
[/mm]
Die Teiler von 64 sind zum Beispiel 1, 2, 4, 8, 16, 32 und 64.
So, ich hoffe, durch die Lösung von a) kannst du b) selber lösen. Es geht auch über die Formel zur Bestimmung der Anzahl Teiler. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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