Teiler einer natürlichen Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Sa 04.07.2009 | | Autor: | nala24 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Ist die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl ungerade, so ist diese Zahl eine Quadratzahl. Gilt hiervon die Umkehrung? Kann man Kubikzahlen ähnlich charakterisieren? |
Ich habe zu der Aufgabe schon einen Ansatz...
Allgemein gilt:
hat die natürliche Zahl z die Darstellung
z = [mm] p_{1}^{\alpha} [/mm] * [mm] p_{2}^{\alpha} [/mm] * ... [mm] p_{n}^{\alpha}
[/mm]
mit [mm] p_{1}, [/mm] ..., [mm] p_{n} [/mm] Primzahlen, paarweise verschieden [mm] \alpha [/mm] E [mm] \IN, [/mm] dann ist die Anzahl der Teiler von z:
[mm] (\alpha_{1} [/mm] + 1) * [mm] (\alpha_{2} [/mm] + 1) [mm] ...(\alpha_{n} [/mm] + 1)
Anzahl der von z ist ungerade ...
... hier komme ich nicht weiter....
....z ist eine Quadratzahl.
Vielen lieben Dank schon einmal für eure tolle Hilfe!!!
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nala,
für den Beweis muss man nicht unbedingt die
komplette Primzahlzerlegung betrachten. Es
genügt, sich klar zu machen, dass man die
Teiler einer Zahl paarweise anordnen kann.
Zu einem beliebigen Teiler t einer Zahl n gibt
es den dazu komplementären Teiler [mm] t^{\*}=\bruch{n}{t} [/mm] .
Die gesamte Anzahl der Teiler einer natürlichen
Zahl n ist deshalb im Regelfall eine gerade
Zahl. Eine Ausnahme davon gibt es nur dann,
wenn einer der Teiler mit seinem komplemen-
tären Teiler identisch ist.
LG Al-Chw.
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> Beweisen Sie:
> Ist die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl
> ungerade, so ist diese Zahl eine Quadratzahl. Gilt hiervon
> die Umkehrung? Kann man Kubikzahlen ähnlich
> charakterisieren?
> Ich habe zu der Aufgabe schon einen Ansatz...
>
> Allgemein gilt:
> hat die natürliche Zahl z die Darstellung
> z = [mm]p_{1}^{\alpha}[/mm] * [mm]p_{2}^{\alpha}[/mm] * ... [mm]p_{n}^{\alpha}[/mm]
> mit [mm]p_{1},[/mm] ..., [mm]p_{n}[/mm] Primzahlen, paarweise verschieden
> [mm]\alpha[/mm] E [mm]\IN,[/mm] dann ist die Anzahl der Teiler von z:
>
> [mm](\alpha_{1}[/mm] + 1) * [mm](\alpha_{2}[/mm] + 1) [mm]...(\alpha_{n}[/mm] + 1)
Hier bin ich nochmal. Es geht natürlich auch
auf diesem Weg. Ein Produkt ganzer Zahlen
ist genau dann ungerade, wenn alle diese
Faktoren selber ungerade sind. Die Anzahl
der Teiler von z ist also genau dann ungerade,
wenn alle [mm] (\alpha_i+1) [/mm] ungerade und demnach alle [mm] \alpha_i
[/mm]
gerade sind: [mm] \alpha_i=2*\beta_i [/mm] mit [mm] \beta_i\in\IN [/mm] .
Dann ist
$\ [mm] z=\produkt_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha_i}=\produkt_{i=1}^{n}p_{i}^{2*\beta_i}=\left(\produkt_{i=1}^{n}p_{i}^{\beta_i}\right)^2$
[/mm]
und also offensichtlich eine Quadratzahl.
Gruß Al-Chw.
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