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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und [mm] \pi_{d}(G) [/mm] die Anzahl der Elemente von G deren Ordnung genau d ist.
Zu zeigen:
i) [mm] \summe_{d|n}^{}\pi_{d}(G)=n
[/mm]
ii)Für d|n (d.h. d teilt n) gilt: [mm] \pi_{d}(\IZ/(n))= \pi_{d}(\IZ/(d))
[/mm]
iii) Ist die endliche Gruppe G der Ordnung n eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers L, so gilt entweder [mm] \pi_{d}(G)=0 [/mm] oder [mm] \pi_{d}(G)= \pi_{d}(\IZ/(n)). [/mm] Hinweis: Benütze, dass in L ein Polynom vom Grad m [mm] \ge [/mm] 1 höchstens m Nullstellen hat. |
Hallo,
Bei der Aufgabe hab ich so meine Schwierigkeiten. Hoffentlich kann mir da jemand weiterhelfen.
G sei endl. Gruppe mit Ord(G)= n, und weiter ist [mm] Ord(x_{i})=d [/mm] für [mm] x_{i} \in [/mm] G mit # [mm] x_{i}=\pi_{d}(G).
[/mm]
i)Hier ist zu zeigen: [mm] \summe_{d|n}^{}\pi_{d}(G)=n
[/mm]
Es gilt doch d<n, weil [mm] x_{i} \in [/mm] G. Es gilt [mm] x_{i}^{d}=e [/mm] nach Definition der Ordnung. Aber wie zeige ich hier, dass die Summe gleich n ist?
ii) Wenn d|n, dann gibt es ein m [mm] \in [/mm] G mit n=d*m, d.h. in anderen Worten doch, dass n [mm] \in [/mm] (d)(Ideal von d erzeugt). [mm] \IZ/(n) [/mm] hat die Ordnung n, und [mm] \IZ/(d) [/mm] hat die Ordnung d. Aber dann ist doch irgendwie klar, dass in [mm] \IZ/(n)Elemente [/mm] gibt, die auch die Ordnung d haben. Aber wie kann ich das richtig zeigen?
iii) Hier soll ich mit dem Hinweis arbeiten, dass in L ein Polynom vom Grad m höchstens m Nullstellen hat. Aber ich versteh nicht ganz, wie ich das verwerten soll, um die Aussage zu zeigen.
Vielen Dank im Vorraus.
Milka
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Hallo Milka,
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und [mm]\pi_{d}(G)[/mm] die
> Anzahl der Elemente von G deren Ordnung genau d ist.
> Zu zeigen:
> i) [mm]\summe_{d|n}^{}\pi_{d}(G)=n[/mm]
> ii)Für d|n (d.h. d teilt n) gilt: [mm]\pi_{d}(\IZ/(n))= \pi_{d}(\IZ/(d))[/mm]
>
> iii) Ist die endliche Gruppe G der Ordnung n eine
> Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers L, so
> gilt entweder [mm]\pi_{d}(G)=0[/mm] oder [mm]\pi_{d}(G)= \pi_{d}(\IZ/(n)).[/mm]
> Hinweis: Benütze, dass in L ein Polynom vom Grad m [mm]\ge[/mm] 1
> höchstens m Nullstellen hat.
> Hallo,
>
> Bei der Aufgabe hab ich so meine Schwierigkeiten.
> Hoffentlich kann mir da jemand weiterhelfen.
> G sei endl. Gruppe mit Ord(G)= n, und weiter ist
> [mm]Ord(x_{i})=d[/mm] für [mm]x_{i} \in[/mm] G mit # [mm]x_{i}=\pi_{d}(G).[/mm]
Nein; [mm] $\pi_{d}(G)=|{g \in G \mid |g|=d}|$.
[/mm]
> i)Hier ist zu zeigen: [mm]\summe_{d|n}^{}\pi_{d}(G)=n[/mm]
> Es gilt doch d<n, weil [mm]x_{i} \in[/mm] G. Es gilt [mm]x_{i}^{d}=e[/mm]
> nach Definition der Ordnung. Aber wie zeige ich hier, dass
> die Summe gleich n ist?
Dazu mußt Du nur zeigen, daß die Teilmengen von $G$, gebildet aus den Elementen gleicher Ordnung, eine Partition von G bilden.
> ii) Wenn d|n, dann gibt es ein m [mm]\in[/mm] G mit n=d*m, d.h. in
> anderen Worten doch, dass n [mm]\in[/mm] (d)(Ideal von d erzeugt).
> [mm]\IZ/(n)[/mm] hat die Ordnung n, und [mm]\IZ/(d)[/mm] hat die Ordnung d.
> Aber dann ist doch irgendwie klar, dass in [mm]\IZ/(n)Elemente[/mm]
> gibt, die auch die Ordnung d haben. Aber wie kann ich das
> richtig zeigen?
Für einen Teiler d von n betrachte die von [mm] $\overline{n/d}$ [/mm] erzeugte Untergruppe von [mm] $\IZ_n$. [/mm] Für welche $k, 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] d$ hat $k [mm] \overline{n/d}$ [/mm] wieder Ordnung d? Dann muß man sich nur klar machen, daß das genau die Elemente von [mm] $\IZ_n$ [/mm] sind, die Ordnung d haben.
Mfg
zahlenspieler
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