Teiler von Quadratzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben seine die natürlichen Zahlen m,n mit T(m²)=16, T(n²)=125. Berechnen Sie alle möglichen Werte von T(m), T(n), T(m³) und T(n³). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. T ist die Teileranzahlfunktion. Ich weiß leider nicht, wie man das Zeichen hier schreibt.
So mein Ansatz wäre:
T(m²)=16= 2*2*2*2; also 2 hoch 4, wegen der Teileranzahlfunktion folgt daraus: (e1+1)= (3+1) also m²=p³
leider weiß ich auch nicht, was ich damit anfangen soll oder ob mich das überhaupt weiter bringt.
Kann mir jemand helfen bzw. einen Tipp geben?
Vielen Dank schon mal!!!! und liebe grüße :)
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> Gegeben seine die natürlichen Zahlen m,n mit T(m²)=16,
> T(n²)=125. Berechnen Sie alle möglichen Werte von T(m),
> T(n), T(m³) und T(n³).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. T ist die
> Teileranzahlfunktion. Ich weiß leider nicht, wie man das
> Zeichen hier schreibt.
Vielleicht meinst du [mm] \varphi(n) [/mm] ( <--- drauf klicken ! )
> So mein Ansatz wäre:
>
> T(m²)=16= 2*2*2*2; also 2 hoch 4, wegen der
> Teileranzahlfunktion folgt daraus: (e1+1)= (3+1) also
> m²=p³
>
> leider weiß ich auch nicht, was ich damit anfangen soll
> oder ob mich das überhaupt weiter bringt.
> Kann mir jemand helfen bzw. einen Tipp geben?
>
> Vielen Dank schon mal!!!! und liebe grüße :)
Hallo Minchen77,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
nur mal ein kleiner Tipp zum Anfangen:
Falls T(n) wirklich die Anzahl aller natürlichen Teiler
der natürlichen Zahl n bezeichnen soll (angefangen beim
stets vorhandenen kleinsten Teiler 1 bis zum größten
Teiler n), dann ist T(n) meistens eine gerade Zahl.
Weshalb ?
Und für welche besonderen Werte von n ist T(n) trotzdem
ungerade ?
LG , Al-Chwarizmi
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hmmm :)
also T(n) ist meistens gerade, weil nur Quadratzahlen eine ungerade Anzahl an Teilern hat. Bzw. Quadratzahlen von Primzahlen haben auch ne ungerade Anzahl von Teilern, nämlich 3.
aber mir hilft das nicht weiter.
Eine konkrete Rechnung hilft mir auch weiter. Ich muss das dann nur nachvollziehen können, um weiter lernen zu können :(
Bereite mich gerade mit den Übungsaufgaben auf das Matheexamen vor und verzweifel gerade.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Sa 24.08.2013 | | Autor: | abakus |
> hmmm :)
> also T(n) ist meistens gerade, weil nur Quadratzahlen eine
> ungerade Anzahl an Teilern hat. Bzw. Quadratzahlen von
> Primzahlen haben auch ne ungerade Anzahl von Teilern,
> nämlich 3.
> aber mir hilft das nicht weiter.
So? Aber dass auch 125 ungerade ist, hilft nicht???
Gruß Abakus
> Eine konkrete Rechnung hilft mir auch weiter. Ich muss das
> dann nur nachvollziehen können, um weiter lernen zu
> können :(
> Bereite mich gerade mit den Übungsaufgaben auf das
> Matheexamen vor und verzweifel gerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Sa 24.08.2013 | | Autor: | Minchen77 |
Sorry, ich stehe völlig auf dem Schlauch!
ich ärger mich, weil ich mir vorstelle, dass es super leicht ist und nur noch der ahja Moment fehlt. Ich bin einfach schon mega nervös wegen der Prüfung und komm grad überhaupt nicht drauf.
Könnt ihr bitte etwas konkreter werden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Sa 24.08.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Sorry, ich stehe völlig auf dem Schlauch!
> ich ärger mich, weil ich mir vorstelle, dass es super
> leicht ist und nur noch der ahja Moment fehlt. Ich bin
> einfach schon mega nervös wegen der Prüfung und komm grad
> überhaupt nicht drauf.
Dann bleib erstmal cool. Und lern nur so viel, wie auch im Kopf drin bleibt. Wenn Du den Speicher frei für Neues machen willst, hilft eigentlich nur Schlaf; um es ein bisschen sacken zu lassen, auch eine erholsame Pause (sowas wie Spazieren gehen, oder auch Sport).
Schließlich habt Ihr das Thema ja schonmal gehabt.
> Könnt ihr bitte etwas konkreter werden?
Ja, klar. Aber dazu muss erstmal die ganze Aufgabe klar und richtig gestellt sein. Siehe dazu meine Antwort weiter unten im Thread.
Darüber hinaus wird es helfen, [mm] 16=2^4=4^2 [/mm] und [mm] 125=5^3 [/mm] zu erkennen.
Grüße
reverend
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Hallo Minchen,
so, wie Du sie abgeschrieben hast, ist die Aufgabe vollkommen sinnlos.
> Gegeben seine die natürlichen Zahlen m,n mit T(m²)=16,
> T(n²)=125. Berechnen Sie alle möglichen Werte von T(m),
> T(n), T(m³) und T(n³).
Exponenten gehen hier (wie überhaupt alles) wie in LaTeX: ^{Exponent}, also Caret-Zeichen und Exponent in geschweiften Klammern. Besteht der Exponent aus einem einzigen Zeichen, kann man die Klammern auch weglassen. Die doofen ASCII-Hochzahlen sind dagegen immer schlecht lesbar, außerdem gibt es nur die 2 und die 3 (bzw. ²,³). Wie soll man da [mm] a^5 [/mm] schreiben oder [mm] e^x [/mm] ?
Die Aufgabe ist Unsinn, weil [mm] \tau(m^2) [/mm] ungerade sein muss, mithin nicht 16 sein kann. Am Ende des von Dir eingestellten Textes steht auf einmal [mm] n^3. [/mm] Allerdings muss [mm] \tau(n^3) [/mm] eine Viererpotenz sein.
Korrigiert man sich das ganze so zurecht, dass es um [mm] m^3 [/mm] und [mm] n^2 [/mm] geht, dann bleibt die Aufgabe unsinnig. Es gibt nämlich unendlich viele Lösungen für m,n.
Verrätst Du uns also mal den ganzen Kontext, bitte?
Wie man [mm] \tau [/mm] schreibt, kriegst Du einfach heraus, wenn Du mal vorsichtig mit dem Mauszeiger über eine der Stellen fährst, wo das kleine griechische "Tau" hier steht. Man schreibt es natürlich \tau.
Grüße
reverend
> Hallo Zusammen,
>
> leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. T ist die
> Teileranzahlfunktion. Ich weiß leider nicht, wie man das
> Zeichen hier schreibt.
>
> So mein Ansatz wäre:
>
> T(m²)=16= 2*2*2*2; also 2 hoch 4, wegen der
> Teileranzahlfunktion folgt daraus: (e1+1)= (3+1) also
> m²=p³
>
> leider weiß ich auch nicht, was ich damit anfangen soll
> oder ob mich das überhaupt weiter bringt.
> Kann mir jemand helfen bzw. einen Tipp geben?
>
> Vielen Dank schon mal!!!! und liebe grüße :)
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:24 Sa 24.08.2013 | | Autor: | Minchen77 |
Die Aufgabe stammt so von den Übungsblättern meiner Vorlesung Elemente der Zahlentheorie;
Gegeben seien die natürlichen Zahlen m, n mit
[mm] $\tau(m^2)$ [/mm] = 16, [mm] $\tau(n^2)$=125. [/mm]
Berechnen Sie alle möglichen Werte von [mm] $\tau(m)$, $\tau(n)$, $\tau(m^2)$, $\tau(n^2)$. [/mm]
In neueren Übungen gibts die Aufgabe mit den Werten 12 und 27.
Okay, was mir nun einleuchtet, dass 16 keine Teileranzahl von [mm] m^2 [/mm] sein kann, weil 16 eine gerade Zahl ist und die Teileranzahl von einer Quadratzahl ungerade sein muss. Leider leuchtet mir trotzdem nicht ein, was ich dann mit n mache, bzw. mit den anderen Werten
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Sorry, keine ahnung, wieso das nun nicht angezeigt wird, aber das ersten Tau ist natürlich m² und n².
und gesucht wird m,n und m³ , n³.
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Die Eigenschaften verstehe ich, aber ich kann sie nicht in einen sinnvollen Zusammenhang bringen.
Wäre super, wenn mir den Zusammenhang bzw. die Lösung jemand erklären kann. Ich glaube von alleine komme ich einfach nicht mehr drauf, weil ich jetzt total durcheinader bin und das einfach nur noch verstehen will :(
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Hallo Minchen,
was erwartest Du denn jetzt - dass Dir jemand die Aufgabe komplett vormacht? Das tun wir hier normalerweise nicht.
Man kann, so wie die vermutete Aufgabenstellung [mm] (m^3, n^2) [/mm] wohl lautet, nur etwas über die kanonische Faktorisierung/Zerlegung von m und n aussagen, eben mit unendlich vielen Möglichkeiten. Für beide Variablen gibt es aber mehr als eine mögliche Zerlegungsform.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 24.08.2013 | | Autor: | chrisno |
> Sorry, keine ahnung, wieso das nun nicht angezeigt wird,
> aber das ersten Tau ist natürlich m² und n².
> und gesucht wird m,n und m³ , n³.
Ich habe das mal korrigiert. Schau Dir mal den Quelltext an, und lies weiter oben, da wurde Dir das schon erklärt. Als Mathematik-Student solltest Du Dich unbedingt mit LaTex auseinandersetzen.
>
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> Gegeben seine die natürlichen Zahlen m,n mit T(m²)=16,
> T(n²)=125. Berechnen Sie alle möglichen Werte von T(m),
> T(n), T(m³) und T(n³).
Hallo Minchen,
da ich vermute bzw. befürchte, dass du noch immer
nicht den schlagenden Ansatz zur Lösung dieser
Aufgabe gefunden hast, hier noch ein weiterer Tipp.
Dass [mm] T(m^2)=16 [/mm] unmöglich ist und dieser Fall also gar
nicht weiter zu diskutieren ist, hast du allerdings schon
festgestellt. Zur Lösung der Aufgabe gehört dann
natürlich auch eine klare Begründung für diesen
Sachverhalt !
Nun zum zweiten Fall, wo z.B. [mm] T(n^2)=125 [/mm] oder auch
irgendwelche andere ungerade natürliche Zahl u sein soll:
Betrachte die Primfaktorzerlegung der Zahl u.
Wäre u selber eine Primzahl, so wäre selbstverständlich
auch der Rest ganz einfach, aber wir hätten dann
[mm] T(n^2)=1 [/mm] und weiter auch T(n)=1 und [mm] T(n^3)=1 [/mm] .
Zweiter Fall: u enthält nur einen einzigen Primfaktor p,
diesen aber in einer gewissen Potenz, also [mm] u=p^{a} [/mm] mit
[mm] a\in\IN [/mm] .
Welches sind dann die Teiler von u, und wie viele gibt
es davon ?
Dritter Fall: u enthält verschiedene Primzahlen in seiner
Zerlegung. Als typisches Beispiel für diesen Fall könnten
wir etwa betrachten:
$\ u\ =\ [mm] p^{a}*q^b*r^c$ [/mm]
mit drei verschiedenen Primzahlen p, q, r und Exponenten
a, b, c [mm] \in\IN
[/mm]
Für ein sogar zahlenmäßig ganz konkretes Beispiel könntest
du etwa dieses nehmen:
$\ u\ =\ [mm] 2^{5}*3^3*5^2\ [/mm] =\ 21'600$
Nun mach dir klar, auf welche Weise man systematisch
alle Teiler dieser Zahl erzeugen und deren Anzahl
bestimmen kann.
Wenn du dies im konkreten Beispiel erarbeitet hast,
kannst du es bestimmt auch auf den Fall mit $\ u\ =\ [mm] p^{a}*q^b*r^c$ [/mm]
(oder auch mit noch weiteren Primfaktoren) übertragen
und anschließend auch die gestellte Aufgabe voll-
ständig lösen.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 So 25.08.2013 | | Autor: | Minchen77 |
danke! jetzt habe ich es auch verstanden! ich stand einfach auf dem schlauch und könnte dann mit den eigenschaften nix anfangen :)
vielen dank an euch!
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Hallo Minchen77,
es freut mich, dass du inzwischen die Lösung ebenfalls
gefunden hast.
Um uns zu vergewissern, dass wir wirklich zu denselben
Ergebnissen gekommen sind, möchte ich hier eine Zahl
bekannt geben, welche diese Kontrolle erlaubt, welche
aber trotzdem nicht die ganze Lösung verrät (nach welcher
ein paar andere möglicherweise noch selber suchen
möchten).
Falls $\ [mm] T(m^2)\ [/mm] =\ 125$ ist, so kann [mm] T(m^3) [/mm] ein paar verschiedene
Zahlenwerte annehmen. Diese einzelnen Werte möchte
ich nicht angeben, nicht einmal die Anzahl dieser Werte.
Ich gebe nur die Summe dieser Werte an.
Dabei bin ich auf den hübschen Summenwert
[mm] $\mbox{\Huge{689}} [/mm]
gekommen.
 Stimmt's ?
LG , Al-Chwarizmi
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