Teileranzahl,Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Sa 09.09.2017 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | | Zeigen sie,dass$ m [mm] \in \IN$ [/mm] genau dann eine Quadratzahl ist,wenn [mm] $\tau(m)$ [/mm] ungerade ist. |
Hi. [mm] $\tau(m)$ [/mm] ist die anzahl der Teiler von m
Behauptung: $ m [mm] \in \IN$ [/mm] Quadratzahl [mm] \gdw $\tau(m)$ [/mm] ungerade
jede natürlich Zahl m lässt sich als Produkt,bis auf die Reihenfolge eindeutig, von Primzahlen darstellen.
[mm] m=(p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k})^2=p_1^{2v_1}*...*p_k^{2v_k}
[/mm]
jetzt haben wir einen Satz im Skript ,der heißt [mm] $\tau(n)=\prod_{p \in \IP} (v_p(n)+1)$ [/mm] mit [mm] v_p(n) [/mm] die Vielfachheit,mit der p in n auftritt.
also [mm] $\tau(m)=\prod_{p \in \IP} (v_p(m)+1)=(2v_1+1)*(2v_2+1)*...*(2v_k+1)$
[/mm]
Daraus folgt Teileranzahl ungerade.
Geht das so?
liebe grüße
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Hallo,
> Zeigen sie,dass[mm] m \in \IN[/mm] genau dann eine Quadratzahl
> ist,wenn [mm]\tau(m)[/mm] ungerade ist.
> Hi. [mm]\tau(m)[/mm] ist die anzahl der Teiler von m
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> Behauptung: [mm]m \in \IN[/mm] Quadratzahl [mm]\gdw[/mm] [mm]\tau(m)[/mm] ungerade
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> jede natürlich Zahl m lässt sich als Produkt,bis auf die
> Reihenfolge eindeutig, von Primzahlen darstellen.
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> [mm]m=(p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k})^2=p_1^{2v_1}*...*p_k^{2v_k}[/mm]
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> jetzt haben wir einen Satz im Skript ,der heißt
> [mm]\tau(n)=\prod_{p \in \IP} (v_p(n)+1)[/mm] mit [mm]v_p(n)[/mm] die
> Vielfachheit,mit der p in n auftritt.
>
> also [mm]\tau(m)=\prod_{p \in \IP} (v_p(m)+1)=(2v_1+1)*(2v_2+1)*...*(2v_k+1)[/mm]
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> Daraus folgt Teileranzahl ungerade.
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>
> Geht das so?
Ja, klar. Das Produkt von ungeraden Zahlen ist selbst ungerade, und dass die Faktoren in der obigen Teileranzahl-Funktion sämtlich ungerade sind, folgt ja aus der Tatsache, dass die Primfaktoren einer Quadratzahl alle gerade Vielfachheiten haben müssen.
Gruß, Diophant
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