Teilersummenformel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mi 02.02.2005 | | Autor: | paperjam |
Hallo
Ich rätsel jetzt schon seit Stunden wie ich folgende Aufgabe lösen kann:
"Zeigen Sie die Teilersummenformel:"
[mm] \summe_{d|n}^{} \phi(d) [/mm] = n für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Dabei sollen wir für jeden positiven Teiler d von n folgende Menge betrachten:
T(d) := { x | x [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}, x [mm] \le [/mm] n und ggT(x,n) = d }
Ich hab mittlerweile auch verstanden was damit gemeint ist, indem ich es mir selbst durch ein konkretes Beispiel veranschaulicht habe. Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich das allgemein beweisen kann...
Es wäre toll wenn mir dabei jemand hellfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo du,
definiere etwas allgemeiner
[mm]T_n (d) := \{ x \in \{1, ..., n\} \mid \ggT(x,n) = d \}[/mm]
Dann hast du nämlich
[mm]\varphi(d) = |T_d(1)|[/mm] (*1)
und die Abbildung
[mm]T_{n/d}(1) \to T_n (d)[/mm], [mm]x \mapsto d\cdot x[/mm]
ist bijektiv (*2).
Ordne die Summe der phi(d) um zur Summe der phi(n/d), wende (*1) an und dann (*2).
Benutze zuletzt, dass jedes Element von {1, ..., n} in genau einer der Mengen [mm]T_n(d)[/mm] liegt.
Ferdsch. :)
Gruss,
SirJective
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:05 Mi 02.02.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich hab eine ähnliche aufgabe zu bearbeiten aber mir ist nicht genau klar wieso man dann einfach so ne Abbildung wählen kann, um dann zu sagen dass die bijektiv ist, bzw was bringt uns das genau...
kann jemand mir das bitte erklären
vielen dank
mfg
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 02.02.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich hab eine ähnliche aufgabe zu bearbeiten aber mir ist
> nicht genau klar wieso man dann einfach so ne Abbildung
> wählen kann,
Was meinst du genau? Du konstruierst dir doch Mengen, und dannjeweils zwischen den Mengen Bijektionen - und die Mächtigkeiten der einen Klasse der Menge aufsummiert ergibt n
> um dann zu sagen dass die bijektiv ist, bzw
> was bringt uns das genau...
Bijektive Mengen haben gleich viele Elemente. War's das?
SEcki
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