Teilm. im IR^2 abgesch./komp. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Ist die folgende Teilmenge des [mm] \IR^{2} [/mm] abgeschlossen bzw. kompakt?
K={(t, [mm] \bruch{sin(t)}{t^{2}}); [/mm] 0< t [mm] \le [/mm] 1} |
Also meine Vermutung: Nicht beschränkt und somit auch nicht kompakt, denn:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)}{t^{2}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Reicht das als Begründung? Was mache ich mit der Abgeschlossenheit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Gleiches soll für folgende Menge geprüft werden:
Seien f,g: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] zwei stetige Funktionen und L={(x,y) [mm] \in [0,1]^{2}; g(x,y)=f(x,y)^{2}} [/mm] |
Die Abgeschlossenheit ist klar. Ich definiere mit einer Funktion h: [mm] \IR^{2} \to \IR, h(x,y)=g(x,y)-f(x,y)^{2}. [/mm] Diese ist stetig und das Urbild [mm] h^{-1}({0})=L [/mm] ist abgeschlossen, als Urbild einer abgeschlossenen Menge auf einer stetigen Funktion.
Wie aber zeige oder widerlege ich Beschränktheit?
Oder kann ich sagen, dass die Bilder von g und f kompakt sind, das g und f stetig und [0,1] kompakt und somit L kompakt sein muss?
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Du mußt vorsichtig sein. Gemäß Definition ist [mm]L[/mm] eine Teilmenge von [mm][0,1]^2[/mm]. Die Beschränktheit ist somit klar. Für die Argumentation zur Abgeschlossenheit mußt du den Definitionsbereich deiner Hilfsfunktion [mm]h[/mm] entsprechend einschränken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> Du mußt vorsichtig sein. Gemäß Definition ist [mm]L[/mm] eine
> Teilmenge von [mm][0,1]^2[/mm]. Die Beschränktheit ist somit klar.
Wieso genau?
> Für die Argumentation zur Abgeschlossenheit mußt du den
> Definitionsbereich deiner Hilfsfunktion [mm]h[/mm] entsprechend
> einschränken.
Meinst du so: h: [mm] [0,1]^{2} \to \IR, h(x,y)=g(x,y)-f(x,y)^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Du mußt vorsichtig sein. Gemäß Definition ist [mm]L[/mm] eine
> > Teilmenge von [mm][0,1]^2[/mm]. Die Beschränktheit ist somit klar.
> Wieso genau?
Weil [mm][0,1]^2[/mm] beschränkt ist und L [mm] \subseteq[/mm] [mm][0,1]^2[/mm]
>
> > Für die Argumentation zur Abgeschlossenheit mußt du den
> > Definitionsbereich deiner Hilfsfunktion [mm]h[/mm] entsprechend
> > einschränken.
> Meinst du so: h: [mm][0,1]^{2} \to \IR, h(x,y)=g(x,y)-f(x,y)^{2}[/mm]
Ja, h ist "nur" auf [mm][0,1]^2[/mm] definiert.
FRED
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Vielleicht mußt du noch kurz begründen, warum [mm]\infty[/mm] der Grenzwert ist.
Und was die Abgeschlossenheit angeht: Hast du eine Vorstellung, ob [mm]K[/mm] abgeschlossen ist oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Calculu |
> Vielleicht mußt du noch kurz begründen, warum [mm]\infty[/mm] der
> Grenzwert ist.
Ja, das hab ich auf meinem Blatt gemacht. Ich habe die Regel von l'Hopital angewendet, dann sieht man es sofort.
>
> Und was die Abgeschlossenheit angeht: Hast du eine
> Vorstellung, ob [mm]K[/mm] abgeschlossen ist oder nicht?
Ich denke K ist nicht abgeschlossen. Vl kann man es so begründen: Jeder Punkt ist abgeschlossen, da wir aber eine unendliche Vereinigung diese Punkt haben und unendliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sind (hier bin ich mir gerade unsicher ob das überhaupt allgemein stimmt) ist K nicht abgeschlossen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Vielleicht mußt du noch kurz begründen, warum [mm]\infty[/mm] der
> > Grenzwert ist.
>
> Ja, das hab ich auf meinem Blatt gemacht. Ich habe die
> Regel von l'Hopital angewendet, dann sieht man es sofort.
>
> >
> > Und was die Abgeschlossenheit angeht: Hast du eine
> > Vorstellung, ob [mm]K[/mm] abgeschlossen ist oder nicht?
>
> Ich denke K ist nicht abgeschlossen. Vl kann man es so
> begründen: Jeder Punkt ist abgeschlossen, da wir aber eine
> unendliche Vereinigung diese Punkt haben und unendliche
> Vereinigungen abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen
> sind (hier bin ich mir gerade unsicher ob das überhaupt
> allgemein stimmt) ist K nicht abgeschlossen.
Das ist doch Quatsch ! Mit dieser Begründung gäbe es keine einzige unendliche Menge , die abgeschlossen ist !!
Ich verrate es Dir: K ist abgeschlossen.
Dazu sei [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge in K und [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] ihr Grenzwert.
Zeige: [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] K.
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FRED
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