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Forum "Funktionalanalysis" - Teilmenge eines Banachraums
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Teilmenge eines Banachraums: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mi 25.04.2018
Autor: mathstu

Aufgabe
Sei X ein Banachraum und M [mm] \subset [/mm] X. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
a) M ist beschränkt.
b) sup{Ax: [mm] x\in [/mm] M} < [mm] \infty [/mm] für jedes A [mm] \in [/mm] X'.

Guten Abend,

Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich dimensionalen gilt.

Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in der VL:
Sei X ein [mm] \IK [/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm] X':=L(X,\IK) [/mm] den Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.

Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b) [/mm] wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von A geht.

M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm] \parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die richtige Herangehensweise ist.

Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis herangeht?

LG, mathstu

        
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mi 25.04.2018
Autor: fred97


> Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

X. Zeigen Sie die

> Äquivalenz folgender Aussagen:
>  a) M ist beschränkt.
>  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.

>  Guten Abend,
>  
> Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> dimensionalen gilt.
>  
> Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> der VL:
> Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  
> Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> A geht.
>  
> M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> richtige Herangehensweise ist.
>  
> Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> herangeht?

Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!

Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :

wir haben ||x || [mm] \le [/mm] K für  alle [mm] x\in [/mm] M.

Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist

$Ax [mm] \le [/mm] |Ax | [mm] \le [/mm] ||A|| [mm] \cdot [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] K ||A||$


>  
> LG, mathstu


Bezug
                
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mi 25.04.2018
Autor: mathstu


> > Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und

> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> X. Zeigen Sie die
> > Äquivalenz folgender Aussagen:
>  >  a) M ist beschränkt.
>  >  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer

> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.
>  >  Guten Abend,
>  >  
> > Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> > Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> > betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> > und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> > Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> > dimensionalen gilt.
>  >  
> > Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> > der VL:
> > Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> > Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  >  
> > Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> > wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> > A geht.
>  >  
> > M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> >  

> > Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> > Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> > Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> > überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> > deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> > Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> > richtige Herangehensweise ist.
>  >  
> > Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> > dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> > unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> > herangeht?
>  Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!
>  
> Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :
>  
> wir haben ||x || [mm]\le[/mm] K für  alle [mm]x\in[/mm] M.
>  
> Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist
>  
> [mm]Ax \le |Ax | \le ||A|| \cdot ||x|| \le K ||A||[/mm]
>  
>
> >  

> > LG, mathstu
>  

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Oh ja, stimmt.
Und [mm] K \parallel A \parallel [/mm] ist beschränkt nach Definition der Operatornorm und weil Beschränktheit und Stetigkeit in allen Punkten für lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen äquivalent sind. Diese Argumentation stimmt so, oder?

Kann es sein, dass die Rückrichtung auch relativ schnell folgt oder übersehe ich da etwas:
Es gilt mit Eins-Ergänzung und der Definition der Operatornorm
[mm] \parallel x\parallel = \bruch{\parallel A\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \parallel Ax\parallel \bruch{1}{\parallel A \parallel} < \infty [/mm], nach Voraussetzung b).
Hierzu habe ich aber noch eine Frage: könnte es nicht sein, dass das Funktional A die Nullabbildung ist? Weil dann müsste man diesen Fall noch gesondert betrachten.

LG, mathstu

Bezug
                        
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Do 26.04.2018
Autor: fred97


> > > Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und

> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und
> > "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> > Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > X. Zeigen Sie die
> > > Äquivalenz folgender Aussagen:
>  >  >  a) M ist beschränkt.
>  >  >  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen

> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.
>  >  >  Guten Abend,
>  >  >  
> > > Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> > > Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> > > betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> > > und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> > > Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> > > dimensionalen gilt.
>  >  >  
> > > Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> > > der VL:
> > > Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> > > Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  >  >  
> > > Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> > > wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> > > A geht.
>  >  >  
> > > M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> > > Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> > > Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> > > überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> > > deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> > > Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> > > richtige Herangehensweise ist.
>  >  >  
> > > Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> > > dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> > > unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> > > herangeht?
>  >  Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!
>  >  
> > Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :
>  >  
> > wir haben ||x || [mm]\le[/mm] K für  alle [mm]x\in[/mm] M.
>  >  
> > Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist
>  >  
> > [mm]Ax \le |Ax | \le ||A|| \cdot ||x|| \le K ||A||[/mm]
>  >  
> >
> > >  

> > > LG, mathstu
> >  

>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Oh ja, stimmt.
>  Und [mm]K \parallel A \parallel[/mm] ist beschränkt nach
> Definition der Operatornorm und weil Beschränktheit und
> Stetigkeit in allen Punkten für lineare Abbildungen
> zwischen normierten Vektorräumen äquivalent sind. Diese
> Argumentation stimmt so, oder?

Na ja. Besser: ein linearer Operator zwischen zwei normierten Räumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.


>  
> Kann es sein, dass die Rückrichtung auch relativ schnell
> folgt oder übersehe ich da etwas:
>  Es gilt mit Eins-Ergänzung und der Definition der
> Operatornorm
>  [mm]\parallel x\parallel = \bruch{\parallel A\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \parallel Ax\parallel \bruch{1}{\parallel A \parallel} < \infty [/mm],
> nach Voraussetzung b).

Nein, das ist Unsinn ! Du schreibst

[mm] \parallel x\parallel [/mm] = .....= [mm] sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} [/mm]


Das x links soll wohl aus M stammen, rechts steht ein Supremum über alle x [mm] \ne [/mm] 0, das ist Quark.



> Hierzu habe ich aber noch eine Frage: könnte es nicht
> sein, dass das Funktional A die Nullabbildung ist? Weil
> dann müsste man diesen Fall noch gesondert betrachten.

Zu b) [mm] \Rightarrow [/mm] a):  Hattet Ihr kürzlich in der Vorlesung das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ? Sicher !, denn ohne das gehts nicht.

Wir haben: ist A [mm] \in [/mm] X', so gibt es ein [mm] c_A \ge [/mm] 0 mit

    Ax [mm] \le c_A [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M.

Mit A ist auch -A [mm] \in [/mm] X', also ex.

    -Ax [mm] \le c_{-A} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M.

Fassen wir das zusammen, so gilt

    $- [mm] c_{-A} \le [/mm] Ax [mm] \le c_A$ [/mm]  für alle x [mm] \in [/mm] M.

Fazit: für jedes A [mm] \in [/mm] X' ist A(M) beschränkt.

Nun fassen wir M als Teilmenge des Biduals [mm] X^{''} [/mm] auf.  Damit haben wir: die Familie M stetiger linearer Funktionale auf X' ist punktweise beschränkt. Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sagt nun: M ist beschränkt.


>  
> LG, mathstu


Bezug
                                
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:49 Sa 28.04.2018
Autor: mathstu


> > > > Sei X ein Banachraum und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und

> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und
> > "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> > Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > Eingabefehler: "{" und
> > > "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> > > Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  >  
> > > X. Zeigen Sie die
> > > > Äquivalenz folgender Aussagen:
>  >  >  >  a) M ist beschränkt.
>  >  >  >  b) sup{Ax: [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen

> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> > immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  >  
> > > M} < [mm]\infty[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] X'.
>  >  >  >  Guten Abend,
>  >  >  >  
> > > > Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe so meine
> > > > Schwierigkeiten damit. Da wir ja einen Banachraum
> > > > betrachten, muss dieser Raum nicht endlich-dimensional sein
> > > > und somit fällt das übliche Argument mit dem Satz von
> > > > Bolzano-Weierstraß weg, da der ja nur im endlich
> > > > dimensionalen gilt.
>  >  >  >  
> > > > Zur Erläuterung von X' hatten wir folgende Definition in
> > > > der VL:
> > > > Sei X ein [mm]\IK[/mm] -Vektorraum. Dann setzen wir [mm]X':=L(X,\IK)[/mm] den
> > > > Raum der stetigen, linearen Funktionale auf X.
>  >  >  >  
> > > > Ich dachte mir, dass der Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
> > > > wahrscheinlich am Besten per Widerspruch zur Stetigkeit von
> > > > A geht.
>  >  >  >  
> > > > M ist beschränkt, d.h. es existiert ein K sodass [mm]\parallel x\parallel_X < K \, \forall x \in M [/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Nun habe ich hier schon eine Frage: Wenn wir uns nun eine
> > > > Cauchy-Folge in M wählen, muss doch der Grenzwert dieser
> > > > Folge nicht in M enthalten sein, sondern nur in X? Und
> > > > überhaupt liegt M ja auch nicht unbedingt dicht in X und
> > > > deshalb befürchte ich, dass mein Ansatz mit dem
> > > > Widerspruch zur Stetigkeit von A vielleicht doch nicht die
> > > > richtige Herangehensweise ist.
>  >  >  >  
> > > > Könnte einer von euch mir vielleicht sagen ob die Idee mit
> > > > dem Widerspruchsbeweis stimmt und wie man dann bei
> > > > unendlich-dimensionalen Räumen an so einen Beweis
> > > > herangeht?
>  >  >  Aussage  b) ist nur sinnvoll, wenn X reell  ist!
>  >  >  
> > > Dass  aus a) die Aussage b) folgt, geht direkt :
>  >  >  
> > > wir haben ||x || [mm]\le[/mm] K für  alle [mm]x\in[/mm] M.
>  >  >  
> > > Ist nun A ein stetiges Funktional,  so ist
>  >  >  
> > > [mm]Ax \le |Ax | \le ||A|| \cdot ||x|| \le K ||A||[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > >  

> > > > LG, mathstu
> > >  

> >
> > Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  >  
> > Oh ja, stimmt.
>  >  Und [mm]K \parallel A \parallel[/mm] ist beschränkt nach
> > Definition der Operatornorm und weil Beschränktheit und
> > Stetigkeit in allen Punkten für lineare Abbildungen
> > zwischen normierten Vektorräumen äquivalent sind. Diese
> > Argumentation stimmt so, oder?
>  
> Na ja. Besser: ein linearer Operator zwischen zwei
> normierten Räumen ist genau dann stetig, wenn er
> beschränkt ist.
>  
>
> >  

> > Kann es sein, dass die Rückrichtung auch relativ schnell
> > folgt oder übersehe ich da etwas:
>  >  Es gilt mit Eins-Ergänzung und der Definition der
> > Operatornorm
>  >  [mm]\parallel x\parallel = \bruch{\parallel A\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel} = sup_{x \not= 0} \parallel Ax\parallel \bruch{1}{\parallel A \parallel} < \infty [/mm],
> > nach Voraussetzung b).
>
> Nein, das ist Unsinn ! Du schreibst
>  
> [mm]\parallel x\parallel[/mm] = .....= [mm]sup_{x \not= 0} \bruch{\parallel Ax\parallel * \parallel x\parallel}{\parallel A\parallel}[/mm]
>  
>
> Das x links soll wohl aus M stammen, rechts steht ein
> Supremum über alle x [mm]\ne[/mm] 0, das ist Quark.
>  
>
>
> > Hierzu habe ich aber noch eine Frage: könnte es nicht
> > sein, dass das Funktional A die Nullabbildung ist? Weil
> > dann müsste man diesen Fall noch gesondert betrachten.
>  
> Zu b) [mm]\Rightarrow[/mm] a):  Hattet Ihr kürzlich in der
> Vorlesung das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ?
> Sicher !, denn ohne das gehts nicht.

Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit hatten wir bisher noch nicht in der VL. Ich habe mir das Prinzip durchgelesen und kann deinen Beweis nachvollziehen, aber da wir das Prinzip noch nicht hatten kann ich das leider auch nicht verwenden.
Gibt es keinen anderen Ansatz den man hier verwenden könnte? Ich habe mich gestern nochmal an die Aufgabe gesetzt, aber mir fällt einfach nicht ein wie man hier geschickt vorgehen soll.

> Wir haben: ist A [mm]\in[/mm] X', so gibt es ein [mm]c_A \ge[/mm] 0 mit
>  
> Ax [mm]\le c_A[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> Mit A ist auch -A [mm]\in[/mm] X', also ex.
>  
> -Ax [mm]\le c_{-A}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> Fassen wir das zusammen, so gilt
>  
> [mm]- c_{-A} \le Ax \le c_A[/mm]  für alle x [mm]\in[/mm] M.
>  
> Fazit: für jedes A [mm]\in[/mm] X' ist A(M) beschränkt.
>  
> Nun fassen wir M als Teilmenge des Biduals [mm]X^{''}[/mm] auf.  
> Damit haben wir: die Familie M stetiger linearer
> Funktionale auf X' ist punktweise beschränkt. Das Prinzip
> der gleichmäßigen Beschränktheit sagt nun: M ist
> beschränkt.
>  
>
> >  

> > LG, mathstu
>  

LG, mathstu

Bezug
                                        
Bezug
Teilmenge eines Banachraums: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mi 02.05.2018
Autor: matux

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