Teilmenge in Potenzmenge < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 25.10.2007 | | Autor: | Narokath |
| Aufgabe | | Sei M eine Menge.Zeigen Sie, dass [mm] \subseteq [/mm] eine Ordnungsrelation in [mm] \mathcal{P} [/mm] (M) darstellt. |
Problem ist nicht das Zeigen denke ich, sondern ich versteh den Sachverhalt nicht ganz, was die Teilmenge wo ist etc. wäre echt nett wenn mir jemand das so ein bisschen übersetzen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey Naro,
eine Ordnungsrelation ist eine Relation, die auf eine Menge "definiert" wird und die dabei verschiedene Regeln (siehe Axiome) einhalten muss. Vielleicht hast du schon etwas von Äquivalenzrelationen gehört; das ist etwas Ähnliches.
Nun gut, was macht man konkret:
Man nimmt sich eine Menge, hier die Potenzmenge von M, d.h du nimmst die Menge M und alle möglichen Teilmengen von M (auch die leere). All diese Mengen bilden dann die Potenzmenge von M.
Jetzt wollen wir eine Ordnunsrelation in dieser Menge finden. Eine Ordnungsrelation hat 3 Axiome:
i) reflexiv
ii) transitiv
iii) identitiv
Wenn du diese Ausdrücke nicht kennst, dann fragen! Zum Beispiel ist das "<" eine Ordnungrelation auf der Menge der reellen Zahlen.
Du musst also zeigen, dass die Relation [mm] \subseteq [/mm] die 3 Axiome erfüllt.
für identitiv gilt z.B.
Sei A,B [mm] \in [/mm] P(M). Dann gilt doch:
A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A=B.
DAmit wäre die Identivität geprüft. Du muss noch die 2 anderen Axiome prüfen. Ist wirklich nicht schwer. Hast du das verstanden?
Ein anderes Beispiel für eine Ordnungsrelation wäre:
a [mm] \le [/mm] b [mm] :\gdw [/mm] a ist Teiler von b.
Frag' nach, wenn etwas nicht klar ist
GorkyPArk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 25.10.2007 | | Autor: | Narokath |
Hallo, schon einmal vielen dank für die übersichtliche Erklärung, die hat mir sehr geholfen!
Also hab ich nun als Ergebnis:
M={A,B,...} [mm] \mathcal{P} [/mm] (M)={ [mm] \emptyset [/mm] , M , A, B, ...}
i. antisymmetrisch bzw. identitiv
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (M):
(A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \subseteq [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm] A=B
ii. reflexiv
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (M):
A [mm] \subseteq [/mm] A
iii.transitiv
[mm] \forall [/mm] A,B,C [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (M):
( A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \subseteq [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] C)
Die Frage ist jetzt ob das ausreicht um es zu zeigen oder ob ich das noch irgendwie extra umschreiben beweisen sollte oder ähnliches?
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N'Abend
> Hallo, schon einmal vielen dank für die übersichtliche
> Erklärung, die hat mir sehr geholfen!
Ja, dein Beweis ist richtig! Du scheinst es begriffen zu haben. Es gibt nur einen kleinen Tippfehler.
> i. antisymmetrisch bzw. identitiv
>
> [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (M):
> (A [mm]\subseteq[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\subseteq[/mm] A) [mm]\Rightarrow[/mm] A=B
Hier darf nicht [mm] \cap [/mm] stehen (es ist kein Schnitt) sondern das logische UND [mm] \wedge. [/mm]
> ii. reflexiv
>
> [mm]\forall[/mm] A [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (M):
> A [mm]\subseteq[/mm] A
>
> iii.transitiv
>
> [mm]\forall[/mm] A,B,C [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (M):
> ( A [mm]\subseteq[/mm] B) [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\subseteq[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] (A
> [mm]\subseteq[/mm] C)
Hier gilt das Gleiche. Kein Schnitt.
> Die Frage ist jetzt ob das ausreicht um es zu zeigen oder
> ob ich das noch irgendwie extra umschreiben beweisen sollte
> oder ähnliches?
Das ist als Beweis absolut hinreichend. Die Prüfung von Axiomen ist allgemein sehr kurz.
MfG
GorkyPark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Narokath |
danke, vielen dank :)
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