Teilmengen bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Überprüfen Sie für jede der Teilmengen, ob sie ein Teilraum von [mm] \IR^3 [/mm] ist und begründen Sie Ihre Antwort.
a.) [mm] T_{1}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | x_{1}=0 \}
[/mm]
b.) [mm] T_{2}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | x_{1} \le 0 \}
[/mm]
c.) [mm] T_{3}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3} = 0 \}
[/mm]
d.) [mm] T_{4}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | x_{1}+x_{2}+x_{3} = 3 \} [/mm] |
Hallo!
Wir haben diese Woche mit Unterräumen angefangen und ich bin mir noch sehr unsicher an der Stelle.
Um die Aufgabe zu lösen ist mir klar, dass ich die 3 Regeln zu den Unterräumen für die jeweilige Menge überprüfen muss.
1. Regel: U ist keine leere Menge
2. Regel: u,v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] U
3. Regel: u [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \lambda*u \in [/mm] U
Soweit so gut...beim Anwenden happerts dann...:
a.) Ich habe hier einfach die Schwierigkeit, dass [mm] x_{1} [/mm] gegeben ist und die anderen einfach ausgelassen werden. Keine Ahnung, was ich mit der Angabe anfangen soll.
Da [mm] x_{1} [/mm] aber 0 ist, gehe ich schon mal davon aus, dass der Nullvektor zur Menge gehört und somit Regel 1 gilt. Die Menge ist also nicht leer.
Wenn ich Regel 2 anwenden will wähle ich ja allgemeine Vektoren, für die die Regel gelten soll, also:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] und [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}
[/mm]
wenn ich die vektoren addiere erhalte ich:
[mm] \vektor{ (x_{1} + y_{1}) \\ (x_{2} + y_{2}) \\ (x_{3} + y_{3}) } [/mm] =0
Muss ich jetzt hier einfach für [mm] x_{1} [/mm] 0 einsetzen?
Wenn ich nun schaue, ob es hierfür eine Lösung gibt, dann sieht man ja schnell, dass die Gleichung stimmt, wenn beide Vektoren Nullvektoren sind, oder auch, wenn der erste Vektor und der zweite Vektor sich aufheben. Ist das dann schon die Lösung? Nee, oder?
Ich kann ja auch ganz viele Dinge einsetzen, die zusammen nicht 0 ergeben...Gezeigt habe ich ja so nicht wirklich viel...
zur 3. Regel:
da komme ich auf [mm] \lambda* \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] =0
Auch hier gibt es Möglichkeiten, damit die Gleichung stimmt, aber es muss je nicht unbedingt Null sein...
b.) Bei der zweiten Aufgabe würde ich sagen, dass es auf jeden Fall kein Unterraum ist, da die 2. Regel nicht eingehalten wird.
[mm] \vektor{ (x_{1} + y_{1}) \\ (x_{2} + y_{2}) \\ (x_{3} + y_{3}) } \le [/mm] 0
also meiner Meinung nach kann zwar die Gleichung unter verschiedenen Bedingungen erfüllt sein, es gibt aber ganz viele, die so nicht stimmen.
c.) und d.)
Ich glaube hier muss man mit der 2. und 3. Regel begründen, dass c.) ein Unterraum ist und d.) nicht.
aber wirklich begründen kann ich das nicht. Ich kann zwar die gleichungen aufstellen:
[mm] 2(x_{1}+y_{1}) [/mm] + [mm] 3(x_{2}+y_{2}) [/mm] + [mm] 4(x_{3}+y_{3}) [/mm] =0
[mm] (2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}) [/mm] + [mm] (2y_{1}+3y_{2}+4y_{3}) [/mm] =0
und 3. Regel:
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}) [/mm] =0
Analog könnte ich das auch für die Aufgabe d.) aufschreiben, aber ich weiß nicht, was ich für Schlüsse aus den ganzen Gleichungen ziehen kann. Siche rmit dem Nullvektor würde das für c alles Stimmen, aber ist das damit schon getan?
Ich weiß das war jetzt ne ganze Menge, würde mich aber sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
Grüße Klempner
Ich habe diese Frage bereits in einem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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> Überprüfen Sie für jede der Teilmengen, ob sie ein
> Teilraum von [mm]\IR^3[/mm] ist und begründen Sie Ihre Antwort.
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> a.) [mm]T_{1}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | x_{1}=0 \}[/mm]
>
> b.) [mm]T_{2}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | x_{1} \le 0 \}[/mm]
>
> c.) [mm]T_{3}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3} = 0 \}[/mm]
>
> d.) [mm]T_{4}:=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 | x_{1}+x_{2}+x_{3} = 3 \}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Wir haben diese Woche mit Unterräumen angefangen und ich
> bin mir noch sehr unsicher an der Stelle.
> Um die Aufgabe zu lösen ist mir klar, dass ich die 3
> Regeln zu den Unterräumen für die jeweilige Menge
> überprüfen muss.
>
> 1. Regel: U ist keine leere Menge
> 2. Regel: u,v [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] u+v [mm]\in[/mm] U
> 3. Regel: u [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow \lambda*u \in[/mm] U
>
> Soweit so gut...beim Anwenden happerts dann...:
>
> a.) Ich habe hier einfach die Schwierigkeit, dass [mm]x_{1}[/mm]
> gegeben ist und die anderen einfach ausgelassen werden.
> Keine Ahnung, was ich mit der Angabe anfangen soll.
>
> Da [mm]x_{1}[/mm] aber 0 ist, gehe ich schon mal davon aus, dass der
> Nullvektor zur Menge gehört und somit Regel 1 gilt. Die
> Menge ist also nicht leer.
>
> Wenn ich Regel 2 anwenden will wähle ich ja allgemeine
> Vektoren, für die die Regel gelten soll, also:
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] und [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}[/mm]
>
> wenn ich die vektoren addiere erhalte ich:
>
> [mm]\vektor{ (x_{1} + y_{1}) \\ (x_{2} + y_{2}) \\ (x_{3} + y_{3}) }[/mm]
> =0
Das muss nicht unbedingt 0 sein.
Wenn die Einträge im Vektor für [mm] x_1=0 [/mm] sin bekommst Du Vektoren der Form [mm] \vektor{0 \\ x \\ y}. [/mm] Diesen unterraum kennst Du. Er lautet [mm] \IR^2
[/mm]
Das solltest Du ganz einfach zeigen können.
>
> Muss ich jetzt hier einfach für [mm]x_{1}[/mm] 0 einsetzen?
> Wenn ich nun schaue, ob es hierfür eine Lösung gibt,
> dann sieht man ja schnell, dass die Gleichung stimmt, wenn
> beide Vektoren Nullvektoren sind, oder auch, wenn der erste
> Vektor und der zweite Vektor sich aufheben. Ist das dann
> schon die Lösung? Nee, oder?
> Ich kann ja auch ganz viele Dinge einsetzen, die zusammen
> nicht 0 ergeben...Gezeigt habe ich ja so nicht wirklich
> viel...
>
> zur 3. Regel:
>
> da komme ich auf [mm]\lambda* \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> =0
>
> Auch hier gibt es Möglichkeiten, damit die Gleichung
> stimmt, aber es muss je nicht unbedingt Null sein...
Genau. Du bekommst bei [mm] \lamda\vektor{x \\ y} [/mm] immer ein Vektor aus [mm] \IR^2 [/mm] raus.
Das solltest Du auch einfach zeigen können.
>
> b.) Bei der zweiten Aufgabe würde ich sagen, dass es auf
> jeden Fall kein Unterraum ist, da die 2. Regel nicht
> eingehalten wird.
>
>
> [mm]\vektor{ (x_{1} + y_{1}) \\ (x_{2} + y_{2}) \\ (x_{3} + y_{3}) } \le[/mm]
> 0
> also meiner Meinung nach kann zwar die Gleichung unter
> verschiedenen Bedingungen erfüllt sein, es gibt aber ganz
> viele, die so nicht stimmen.
b. ist denk ich kein Unterraum. Die Addition ist hier nicht das Problem aber die Multiplikation.
Setz mal Zahlen ein und Überleg dir dann mal ob [mm] (-1)\cdot \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] immer noch im Unterraum liegt.
>
> c.) und d.)
>
> Ich glaube hier muss man mit der 2. und 3. Regel
> begründen, dass c.) ein Unterraum ist und d.) nicht.
> aber wirklich begründen kann ich das nicht. Ich kann zwar
> die gleichungen aufstellen:
>
> [mm]2(x_{1}+y_{1})[/mm] + [mm]3(x_{2}+y_{2})[/mm] + [mm]4(x_{3}+y_{3})[/mm] =0
> [mm](2x_{1}+3x_{2}+4x_{3})[/mm] + [mm](2y_{1}+3y_{2}+4y_{3})[/mm] =0
>
> und 3. Regel:
> [mm]\lambda[/mm] * [mm](2x_{1}+3x_{2}+4x_{3})[/mm] =0
>
> Analog könnte ich das auch für die Aufgabe d.)
> aufschreiben, aber ich weiß nicht, was ich für Schlüsse
> aus den ganzen Gleichungen ziehen kann. Siche rmit dem
> Nullvektor würde das für c alles Stimmen, aber ist das
> damit schon getan?
>
> Ich weiß das war jetzt ne ganze Menge, würde mich aber
> sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
>
> Grüße Klempner
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage bereits in einem Forum auf einer
> anderen Internetseite gestellt.
Mehr kann ich momentan nicht schreiben.
Sorry.
Hoffe aber es hilft Dir weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Do 21.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Danke dir! Du hast mir schon sehr geholfen.
Aufgabe a und b sind so wirklich nicht mehr schwer zu zeigen.
Bei c und d geht das leider nicht so einfach. Weiß vielleicht ein anderer, wie ich da vorgehen kann?
Grüße
Klempner
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Hallo Klempner,
> Danke dir! Du hast mir schon sehr geholfen.
>
> Aufgabe a und b sind so wirklich nicht mehr schwer zu
> zeigen.
>
> Bei c und d geht das leider nicht so einfach.
Doch, doch, keine Bange 
> Weiß vielleicht ein anderer, wie ich da vorgehen kann?
Ja!
Für c) klappere die Unterraumkriterien ab.
Deren Gültigkeit kannst du geradeheraus nachrechnen.
Fange einfach mal an, wenn du irgendwo stecken bleibst, poste deine Ansätze. Dann sehen wir weiter ...
Aber das geht echt geradeheraus!
Für d) denke daran, dass jeder Vektorraum (also auch jeder Untervektorraum) den Nullvektor enthalten muss ...
Das ist eine äquivalente Bedingung zu "Unterraum ist nicht leer"
> Grüße
> Klempner
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 21.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Okay, habe dein Post hat mich weitergebracht, danke!
Für d kann ich auf jeden Fall sagen, dass es kein Unterraum ist, da das 3. Kriterium nicht erfüllt wird. Der Nullvektor müsste dann nicht dazu gehören.
Bei c komme ich nicht weiter. Wahrscheinlich fällt es mir einfach leichter, wenn etwas nicht funktioniert :)
Ich bin so weit gekommen:
zu Kriterium 1:
leer ist die Menge schon mal nicht. Der Nullvektor gehört auf jeden Fall dazu.
zu Kriterium 2:
[mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}= \vektor{x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2}\\ x_{3}+y_{3}}
[/mm]
Dann kann ich die Gleichung ja eigentlich so schreiben:
[mm] 2(x_{1}+y_{1}) [/mm] + [mm] 3(x_{2}+y_{2}) [/mm] + [mm] 4(x_{3}+y_{3}) [/mm] =0
aber mehr weiß ich nicht, was ich dazu schreiben soll. Wenn ich so schaue, kann das auf jeden Fall stimmen. Der Nullvektor wäre auch mit drin...aber das reicht wahrscheinlich nicht.
zu Kriterium 3:
[mm] \lambda*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] =0
2 [mm] \lambda x_{1} [/mm] +3 [mm] \lambda x_{2}+4 \lambda x_{3}=0
[/mm]
Auch hier wäre der Nullvektor dabei. Aber reicht das schon?
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Hallo nochmal,
> Okay, habe dein Post hat mich weitergebracht, danke!
>
> Für d kann ich auf jeden Fall sagen, dass es kein
> Unterraum ist, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da das 3. Kriterium nicht erfüllt wird. Der
> Nullvektor müsste dann nicht dazu gehören.
Genauer: der Nullvektor gehört nicht zu [mm] $T_4$
[/mm]
>
> Bei c komme ich nicht weiter. Wahrscheinlich fällt es mir
> einfach leichter, wenn etwas nicht funktioniert :)
> Ich bin so weit gekommen:
>
> zu Kriterium 1:
> leer ist die Menge schon mal nicht. Der Nullvektor gehört
> auf jeden Fall dazu.
>
> zu Kriterium 2:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y}= \vektor{x_{1}+y_{1} \\
x_{2}+y_{2}\\
x_{3}+y_{3}}[/mm]
>
> Dann kann ich die Gleichung ja eigentlich so schreiben:
> [mm]2(x_{1}+y_{1})[/mm] + [mm]3(x_{2}+y_{2})[/mm] + [mm]4(x_{3}+y_{3})[/mm] =0
Das ist zu zeigen, der Summenvektor gehört ja zu [mm] $T_3$, [/mm] wenn diese Gleichung erfüllt ist.
Forme um: [mm] $\ldots\gdw (2x_1+3x_2+4x_3)+(2y_1+3y_2+4y_3)=0$
[/mm]
Sagt dir das was? Es sind ja [mm] $\vec [/mm] x$ und [mm] $\vec y\in T_3$
[/mm]
>
> aber mehr weiß ich nicht, was ich dazu schreiben soll.
> Wenn ich so schaue, kann das auf jeden Fall stimmen. Der
> Nullvektor wäre auch mit drin...aber das reicht
> wahrscheinlich nicht.
>
> zu Kriterium 3:
>
> [mm]\lambda*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}}[/mm] =0
>
> 2 [mm]\lambda x_{1}[/mm] +3 [mm]\lambda x_{2}+4 \lambda x_{3}=0[/mm]
Das ist genau zu zeigen!
>
> Auch hier wäre der Nullvektor dabei.
Hää?
[mm] $\vec x\in T_3$ [/mm] bedeutet doch [mm] $2x_1+3x_2+4x_3=0$
[/mm]
Klammere oben [mm] $\lambda$ [/mm] aus und nutze, dass [mm] $\vec x\in T_3$
[/mm]
> Aber reicht das
> schon?
Nein, genau das alles musst du zeigen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 21.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Ah ich glaube ich weiß, was du meinst.
Da beim 2. Kriterium der x-Vektor und y-Vektor schon zur Teilmenge gehören, gehören natürlich auch die Vielfachen dazu. Das Kriterium wird also erfüllt.
Beim 3. Kriterium ist das ja dasselbe. Auch hier nehme ich ja nur Vielfache vom Vektor x.
Also ist [mm] T_{3} [/mm] ein Unterraum!
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> Ah ich glaube ich weiß, was du meinst.
>
> Da beim 2. Kriterium der x-Vektor und y-Vektor schon zur
> Teilmenge gehören, gehören natürlich auch die Vielfachen
> dazu. Das Kriterium wird also erfüllt.
>
> Beim 3. Kriterium ist das ja dasselbe. Auch hier nehme ich
> ja nur Vielfache vom Vektor x.
>
> Also ist [mm]T_{3}[/mm] ein Unterraum!
>
> Stimmt das?
Ja, das ist ein UVR, aber das ist sehr schwammig!
Ich mach's mal vor, dann siehst du das Schema:
Seien [mm]x,y\in T_3[/mm], dann gilt [mm]\red{2x_1+3x_2+4x_3=0}[/mm] und [mm]\blue{2y_1+3y_2+4y_3=0}[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\
x_2+y_2\\
x_3+y_3}\in T_3[/mm]
Dh. zu zeigen ist: [mm]2(x_1+y_1)+3(x_2+y_2)+4(x_3+y_3)=0[/mm]
[mm]\gdw \red{\underbrace{(2x_1+3x_2+4x_3)}_{=0}}+\blue{\underbrace{(2y_1+3y_2+4y_3)}_{=0}}=0[/mm]
Passt!
Weiter sei [mm]\lambda\in\IR[/mm] und [mm]x\in T_3[/mm], also [mm]\red{2x_1+3x_2+4x_3=0}[/mm]
Dann ist [mm]\lambda x=\vektor{\lambda x_1\\
\lambda x_2\\
\lambda x_3}[/mm]
Das ist [mm]\in T_3[/mm], wenn gilt [mm]2\lambda x_1+3\lambda x_2+4\lambda x_3=0[/mm]
Also [mm]\lambda\cdot{}\red{\underbrace{(2x_1+3x_2+4x_3)}_{=0}}=0[/mm]
Passt auch!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Do 21.04.2011 | | Autor: | Klempner |
Ah okay,
vielen lieben Dank. Ich muss also vorher klären, dass die Gleichung 0 ergibt und setze dies dann praktisch ein und schaue, ob es stimmt.
Danke dir!
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Hallo nochmal,
> Ah okay,
>
> vielen lieben Dank. Ich muss also vorher klären, dass die
> Gleichung 0 ergibt und setze dies dann praktisch ein und
> schaue, ob es stimmt.
Hier ja!
Im Allg. musst du halt prüfen, ob die Vektoren (bzw. Summe und skalares Vielfaches) die Bedingung(en) erfüllt(en), die der vermeintliche VR (UVR) stellt.
Hier war das halt die Bedingung an die Komponenten der Vektoren: [mm]2x_1+3x_2+4x_3=0[/mm]
Das fordert ja [mm]T_3[/mm]
>
> Danke dir!
Gerne
schachuzipus
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