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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 So 04.11.2012 | | Autor: | LumaDE |
| Aufgabe | Seien [mm] $F_{1}, F_{2}$ [/mm] Korrespondenzen aus A in B und G eine Korrespondenz aus B in C.
Man zeige: Gilt [mm] $F_{1} \subseteq F_{2}$, [/mm] so ist
(a) [mm] $F_{1} \circ [/mm] G [mm] \subseteq F_{2} \circ [/mm] G$
(b) [mm] $F_{1}^{-1} \subseteq F_{2}^{-1}$ [/mm] |
Hallo liebe Community,
ich habe eine Frage zur obigen Aufgabe.
Ich habe versucht, das ganze auf formaler Ebene zu lösen, was mir leider nicht gelungen ist. Daher habe ich das ganze nun auf Basis von Beispielwerten gelöst:
[mm] F_{1} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in A \times B\}
[/mm]
[mm] F_{2} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in A \times B\}
[/mm]
G = [mm] \{(y,z) \in B \times C\}
[/mm]
o.B.d.A. sei:
[mm] f_{1}: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x+1
[mm] f_{2}: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x+1
g: x [mm] \mapsto [/mm] 2x
[mm] F_{1}=\{(1,2),(3,4)\}
[/mm]
[mm] F_{2}=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}
[/mm]
Somit ist [mm] F_{1} [/mm] schon einmal eine Teilmenge von [mm] F_{2}
[/mm]
[mm] F_{1} \circ [/mm] G = [mm] \{(2,4),(4,8)\}
[/mm]
[mm] F_{2} \circ [/mm] G = [mm] \{(2,4),(4,8),(6,12)\}
[/mm]
Somit sieht mann, dass [mm] F_{1} \circ [/mm] G [mm] \in F_{2} \circ [/mm] G wahr ist.
Ist das eine mathematisch akzeptable Lösung?
Ich bin mir da etwas unsicher, da ich es ja nur für bestimmte Werte, nicht aber für die Allgemeinheit nachgewiesen habe.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo LumaDE,
> ich habe eine Frage zur obigen Aufgabe.
> Ich habe versucht, das ganze auf formaler Ebene zu lösen,
> was mir leider nicht gelungen ist. Daher habe ich das ganze
> nun auf Basis von Beispielwerten gelöst:
>
> [mm]F_{1}[/mm] = [mm]\{(x,y) \in A \times B\}[/mm]
> [mm]F_{2}[/mm] = [mm]\{(x,y) \in A \times B\}[/mm]
Bewusst [mm] $F_1=F_2$?
[/mm]
>
> G = [mm]\{(y,z) \in B \times C\}[/mm]
>
> o.B.d.A. sei:
O.B.d.A. heißt wohl hier "ohne Bedenken des Autors"... 
>
> [mm]f_{1}:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x+1
> [mm]f_{2}:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x+1
Also [mm] $f_1=f_2$?
[/mm]
> g: x [mm]\mapsto[/mm] 2x
Was bedeuten die Kleinbuchstaben im Kontext dieser Aufgabe?
> [mm]F_{1}=\{(1,2),(3,4)\}[/mm]
> [mm]F_{2}=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}[/mm]
>
> Somit ist [mm]F_{1}[/mm] schon einmal eine Teilmenge von [mm]F_{2}[/mm]
Wie lauten denn in deinem Beispiel A,B,C und G?
> [mm]F_{1} \circ[/mm] G = [mm]\{(2,4),(4,8)\}[/mm]
> [mm]F_{2} \circ[/mm] G = [mm]\{(2,4),(4,8),(6,12)\}[/mm]
Das stimmt auf keinen Fall.
> Somit sieht mann, dass [mm]F_{1} \circ[/mm] G [mm]\in F_{2} \circ[/mm] G wahr
> ist.
> Ist das eine mathematisch akzeptable Lösung?
> Ich bin mir da etwas unsicher, da ich es ja nur für
> bestimmte Werte, nicht aber für die Allgemeinheit
> nachgewiesen habe.
Eben. Das mit den konkreten Werten kann eine gute Vorübung sein.
Wie sind denn z.B. [mm] $F1\circ [/mm] G$ und [mm] $F1^{-1}$ [/mm] definiert?
Fangen wir mal mit (b) an.
Sei [mm] $(y,x)\in F1^{-1}$, [/mm] d.h. ...
Wegen [mm] $F_1\subseteq F_2$ [/mm] folgt ...
Also [mm] $(y,x)\in F2^{-1}$.
[/mm]
Da [mm] $(y,x)\in F1^{-1}$ [/mm] beliebig war, gilt somit [mm] $(y,x)\in F2^{-1}$ [/mm] für alle [mm] $(y,x)\in F1^{-1}$, [/mm] d.h. es gilt [mm] $F1^{-1}\subseteq F2^{-1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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