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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Riedi |
| Aufgabe 1 | Welche der folgenden mengentheoretischen Beziehungen gelten für beliebige Mengen $A, B, C$ (Nachweisen bzw. Gegenbeispiel)
(a) $(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] C)$ für $A, B, C$ |
| Aufgabe 2 | | (c) $(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = (A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C))$ für $A,B,C$ |
Hallo Leute,
ich habe mal wieder zwei kleine Fragen und zwar kann ich zwei Schritte unseres Übungsleiters einer Musterlösung aus der Übungsstunde nicht nachvollziehen. Vielleicht, kann mir hier jemand diesen Schritt erläutern.
zu (a)
Geg.:
$(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] C)$ für $A, B, C$
Es gilt:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus B)\wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] C)$ Q.e.d.
Um diesen Schritt geht es:
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] C$
Logisch kann ich das nachvollziehen aber wieso kann ich mathematisch einfach:
$x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] C$
schreiben?
zu (c)
Geg.:
$(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C = (A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C))$ für $A, B, C$
Es gilt:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C$
[mm] $\gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C$
[mm] $\gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C)$
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] C [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A)$
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] C [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C))$
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] C [mm] \cup [/mm] B [mm] \setminus(A \cup [/mm] C)$
[mm] $\gdw [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus(A \cup [/mm] C))$ Q.e.d.
Bei dieser Aufgabe versteh ich den folgenden Schritt nicht:
$(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C)$
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] C [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A)$
Wo kommt das $A$ her?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
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> Welche der folgenden mengentheoretischen Beziehungen gelten
> für beliebige Mengen [mm]A, B, C[/mm] (Nachweisen bzw.
> Gegenbeispiel)
>
> (a) [mm](A \setminus B) \setminus C \subseteq A \setminus (B \setminus C)[/mm]
> für [mm]A, B, C[/mm]
> (c) [mm](A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus (A \cup C))[/mm]
> für [mm]A,B,C[/mm]
> Hallo Leute,
> ich habe mal wieder zwei kleine Fragen und zwar kann ich
> zwei Schritte unseres Übungsleiters einer Musterlösung
> aus der Übungsstunde nicht nachvollziehen. Vielleicht,
> kann mir hier jemand diesen Schritt erläutern.
>
> zu (a)
>
> Geg.:
> [mm](A \setminus B) \setminus C \subseteq A \setminus (B \setminus C)[/mm]
> für [mm]A, B, C[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]x \in (A \setminus B) \setminus C[/mm]
> [mm]\Rightarrow x \in (A \setminus B)\wedge x \not\in C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x \in A \wedge x \not\in B \wedge x \not\in C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x \in A \wedge x \not\in B \setminus C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x \in A \setminus (B \setminus C)[/mm] Q.e.d.
>
> Um diesen Schritt geht es:
> [mm]x \in A \wedge x \not\in B \wedge x \not\in C[/mm]
> [mm]\Rightarrow x \in A \wedge x \not\in B \setminus C[/mm]
Hallo,
wenn x nicht in B ist,
dann ist x auch nicht in B\ C, denn B\ C ist ja eine Teilmenge von B.
Beachte, daß an der besagten Stelle nur ein einfacher Pfeil ist, nicht etwa ein Äquivalenzpfeil.
>
> Logisch kann ich das nachvollziehen aber wieso kann ich
> mathematisch einfach:
> [mm]x \not\in B \wedge x \not\in C \Rightarrow x \not\in B \setminus C[/mm]
>
> schreiben?
Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
Du suchst eine kleinschrittigere Begründung?
x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] x\not\in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] x\not\in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] C
LG Angela
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> zu (c)
>
> Geg.:
> [mm](A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus (A \cup C))[/mm]
> für [mm]A, B, C[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]x \in (A \cup B) \setminus C[/mm]
> [mm]\gdw (x \in A \vee x \in B) \wedge x \not\in C[/mm]
>
> [mm]\gdw (x \in A \wedge x \not\in C) \vee (x \in B \wedge x \not\in C)[/mm]
>
> [mm]\gdw x \in A \setminus C \vee (x \in B \wedge x \not\in C \wedge x \not\in A)[/mm]
>
> [mm]\gdw x \in A \setminus C \vee (x \in B \wedge x \not\in (A \cup C))[/mm]
>
> [mm]\gdw x \in A \setminus C \cup B \setminus(A \cup C)[/mm]
> [mm]\gdw (A \setminus C) \cup (B \setminus(A \cup C))[/mm]
> Q.e.d.
>
>
> Bei dieser Aufgabe versteh ich den folgenden Schritt
> nicht:
> [mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee (x \in B \wedge x \not\in C)[/mm]
>
> [mm]\gdw x \in A \setminus C \vee (x \in B \wedge x \not\in C \wedge x \not\in A)[/mm]
Hallo,
die Rückrichtung sollte klar sein.
Schauen wir also den Hinweg an:
Mal vorweg: Es ist B=(B\ [mm] A)\cup (B\cap [/mm] A).
[mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee (x \in B \wedge x \not\in C)[/mm]
==>
[mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee (x\in[(B\setminus A)\cup (B\cap A)] \wedge x \not\in C)[/mm]
==>
[mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee ([x\in (B\setminus A) \vee x\in(B\cap A)] \wedge x \not\in C)[/mm]
==>
[mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee ([x\in (B\setminus A) \wedge x\not\in C] \vee [ x\in(B\cap A) \wedge x\not\in C])[/mm]
==>
[mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee [x\in (B\setminus A) \wedge x\not\in C] \vee [ x\in(B\cap A) \wedge x\not\in C][/mm]
==>
[mm](x \in A \wedge x \not\in C) \vee [x\in (B\setminus A) \wedge x\not\in C] \vee [ x\in(B\cap A) \wedge x\not\in C][/mm]
==>
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C) [mm] \vee [x\in (B\setminus [/mm] A) [mm] \wedge x\not\in [/mm] C] [mm] \vee [/mm] [ [mm] x\in [/mm] A [mm] \wedge x\not\in [/mm] C], [mm] \qquad [/mm] denn [mm] B\cap [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A
==>
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C) [mm] \vee [x\in (B\setminus [/mm] A) [mm] \wedge x\not\in [/mm] C]
Nicht ganz ausgeschlossen, daß ich's umständlich angestellt habe.
Ich hoffe, es ist verständlich und nachvollziehbar.
LG Angela
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> Wo kommt das [mm]A[/mm] her?
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> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
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