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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Hi. Seien $A, B [mm] \subset \IR^n$. [/mm]
Ich will zeigen, dass [mm] $\overline{ A\cup B}\setminus (A\cup B)^\circ \subset (\overline{A}\setminus A^\circ) \cup (\overline{B}\setminus B^\circ)$ [/mm] ist.
[mm] $\overline{A}$ [/mm] ist dabei der Abschluss von $A$ und [mm] $A^\circ$ [/mm] das Innere. |
Eigentlich ist diese Behauptung mehr als klar, aber wie beweise ich sie?
PS: Es ist eigentlich ein Ana II-Thema. Dazu aufgeschrieben haben wir noch die folgende
Def.: Sei [mm] $A\subset \IR^n$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $x\in \overline{A}\setminus A^\circ\qquad \Rightarrow\qquad \forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ y\in [/mm] A,\ [mm] z\in \IR^n\setminus [/mm] A$ mit [mm] $||y-x||<\varepsilon [/mm] ,\ [mm] ||z-x||<\varepsilon$
[/mm]
Aber das hilft mir wohl nicht weiter, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 14.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi. Seien [mm]A, B \subset \IR^n[/mm].
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> Ich will zeigen, dass [mm]\overline{ A\cup B}\setminus (A\cup B)^\circ \subset (\overline{A}\setminus A^\circ) \cup (\overline{B}\setminus B^\circ)[/mm]
> ist.
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> [mm]\overline{A}[/mm] ist dabei der Abschluss von [mm]A[/mm] und [mm]A^\circ[/mm] das
> Innere.
>
> Eigentlich ist diese Behauptung mehr als klar, aber wie
> beweise ich sie?
>
>
>
> PS: Es ist eigentlich ein Ana II-Thema. Dazu aufgeschrieben
> haben wir noch die folgende
>
> Def.: Sei [mm]A\subset \IR^n[/mm]. Dann gilt:
>
> [mm]x\in \overline{A}\setminus A^\circ\qquad \Rightarrow\qquad \forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ y\in A,\ z\in \IR^n\setminus A[/mm]
> mit [mm]||y-x||<\varepsilon ,\ ||z-x||<\varepsilon[/mm]
>
> Aber das hilft mir wohl nicht weiter, oder?
Doch das hilft. Wende das auf A [mm] \cup [/mm] B an.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marschal |
Danke erstmal!. Hmmm schlecht, wenn man die angebotene Hilfe nicht umsetzen kann...
Die Definition sagt ja einfach nur aus, dass man um jede beliebig-große offene (n-dimensionale) Kugel, die man um [mm] $x\in$ [/mm] (Rand von [mm] $A\cup [/mm] B$) bildet, jeweils einen Punkt $y$ innerhalb der Menge [mm] $A\cup [/mm] B$ und einen Punkt $z$ außerhalb der Menge [mm] $A\cup [/mm] B$ finden kann, die in der offenen Kugel liegen.
Leider sehe ich immer noch nicht, wie mir das weiter hilft...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marschal |
Ich bin immer noch nicht drauf gekommen.
Weiß auch vielleicht jemand anderes Rat bei dieser Aufgabe?
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