Teilräume eines Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 17.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | Seien [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Teilräume des Vektorraums V über dem Körper K. Begründen Sie, welche der nachfolgenden Mengen wieder ein Teilraum ist.
a) [mm] U_1 \cap U_2
[/mm]
b) [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] a*\vec{y}
[/mm]
c) [mm] {a*\vec{e_2}}
[/mm]
für alle a [mm] \in [/mm] K, [mm] \vec{x} \in U_1, \vec{y} \in U_2 [/mm] |
Hallo,
in der Vorlesung wurde lediglich angegeben:
Eine Teilmenge V' [mm] \subset [/mm] V, die bezüglich der in V erklärten Addition udn skalaren Mulitplikation wieder ein Vektorraum ist, heißt Teilvektorraum von V oder auch Unterraum.
Mein Problem: Wie zeige ich in den Beispielen, ob die Mengen wiederaum ein Teilraum sind? Wäre für ein illustrierendes Beispiel sehr dankbar!
Viele Grüße,
Commotus
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Hallo,
allgemein: Wenn Du einen Vektorraum V hast und eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] V
(zB die Menge [mm] U_1\cap U_2, [/mm] wobei die [mm] U_i [/mm] Teilräume sind, oder die Menge
[mm] \{x + a\cdot y | x\in U_1,y\in U_2, a\in K\} [/mm] (so lese ich das, ist es richtig interpretiert ???))
gegeben ist, so musst Du, um zu pruefen, ob diese Menge Teilraum ist, tatsaechlich Abgeschlossenheit unter Addition und skalarer Multipl. pruefen, d.h. z.B. fuer
die Menge [mm] U_1\cap U_2 [/mm] ist zu pruefen, ob fuer alle [mm] u,v\in U_1\cap U_2 [/mm] und alle
[mm] a,b\in [/mm] K auch [mm] a\cdot u+b\cdot v\in U_1\cap U_2 [/mm] ist.
Dabei solltest Du verwenden, dass die [mm] U_i [/mm] ja Teilr"aume sind und als solche abgeschlossen unter skal. Multipl. und Addition.
Klappt es ?
Viel Erfolg,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 17.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Wäre der erste Aufgabenteil dann wie folgt zu lösen?
Sei u,v [mm] \in U_1 \cap U_2. [/mm] Da [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen sind, ist u+v [mm] \in U_1 \cap U_2. [/mm] Für alle a [mm] \in [/mm] K gilt ebenso aufgrund der Abgeschlossenheit a*(u+v) [mm] \in U_1 \cap U_2.
[/mm]
Falls dies so nicht ausreichen bzw. stimmen sollte, wär es sehr nett von dir, mir kurz eine Musterlösung anhand dieses Beispiels zu geben.
Gruß,
Commotus
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Hallo Commotus,
ja genau, absolut richtig !!!
Gruss + weiter frohes Schaffen,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 17.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Wie schaut's mit der Lösung zur zweiten Aufgabe aus?
Sei a [mm] \in [/mm] K, x [mm] \in U_1 [/mm] und y [mm] \in U_2.
[/mm]
Addition:
[mm] (x_1+a*y_1) [/mm] + [mm] (x_2+a*y_2) [/mm] = [mm] x_1+x_2+a*y_1+a*y_2=(x_1+x_2)+a*(y_1+y_2) \in [/mm] x+ay
Multiplikation mit Skalar:
[mm] a_1*(x+a_2y)=a_1x+a_1a_2*y \in [/mm] x+ay
=> Wieder ein Teilvektorraum!?!
Zu c):
[mm] {a*e_2}
[/mm]
Addition:
[mm] {a_1*e_2}+{a_2*e_2}=(a_1+a_2)*e_2 \in a*e_2
[/mm]
Multiplikation mit Skalar:
[mm] a_1{a_2*e_2}=(a_1*a_2)*e_2 \in a*e_2
[/mm]
Stimmt dies soweit und alle Mengen sind wiederum Teilräume?
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Hallo Commotus,
ich wuerd sagen: Ja.
(Vorausgesetzt, die Mengen sind so definiert, wie wir es benutzt / geschrieben haben,
wovon man ausgehen sollte.  )
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Do 19.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | Seien [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Teilräume des Vektorraums V über dem Körper K. Begründen Sie, welche der nachfolgenden Mengen wieder ein Teilraum sind.
a) [mm] U_1 \cap U_2 [/mm]
b) [mm] \vec{x}+a*\vec{y} [/mm]
c) [mm] {a*\vec{e_2}} [/mm]
für alle [mm] a \in K, \vec{x} \in U_1, \vec{y} \in U_2 [/mm] |
Guten Morgen,
ich weiß, diese Frage hatte ich bereits neulich schonmal gestellt, doch ich bin mir nicht wirklich sicher, ob meine Lösungen stimmen. In der Vorlesung wurden Teilräume so definiert:
Definition: Eine Teilmenge [mm] V' \subset V [/mm], die bezüglich der in V erklärten Addition und skalaren Multiplikation wieder ein Vektorraum ist, heißt Teilraum von V oder auch Unterraum.
Hier sind meine Lösungen:
Zu a):
Seien [mm] \vec{u}, \vec{v} \in U_1 \cap U_2 [/mm] beliebige Vektoren der angegebenen Menge und [mm]a \in K[/mm]. Es gilt dann:
[mm] \vec{u}+\vec{v} \in U_1 \cap U_2 [/mm] und
[mm] a*\vec{u} \in U_1 \cap U_2
[/mm]
Wäre hiermit schon der Beweis erbracht? Wenn nicht, wäre es sehr nett, wenn mir jemand für den ersten Aufgabenteil eine Musterlösung geben könnte.
Wie ist bei den Aufgabenteilen b) und c) vorzugehen? Bei b) erkenne ich keine konkrete Menge, sondern nur eine Linearkombination von Vektoren.
Wäre für Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
Commotus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 19.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Commotus,
Mathias ist doch mit dir hier eigentlich schon alles durchgegangen! Stell weitere Fragen zu derselben Aufgabe bitte dort! Danke aber für den Hinweis, dass du die Frage schon gestellt hattest.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 19.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
der Übersichtlichkeit halber wollte ich lieber ein neues Thema erstellen.
Was mir fehlt, ist eine konkretes Schema, mit Hilfe dessen ich zeigen kann, ob es sich bei den angegebenen Mengen (und b) ist doch keine Menge, oder?!) um Teilräume handelt. Mathias hat mir zwar schon weitergeholfen, jedoch glaube ich nicht, dass in allen drei Aufgabenteilen Teilräume vorliegen (s. Aufgabenstellung). Daher würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen könnte. In der Vorlesung wurde kein Beispiel gegeben, anhand dessen man sich solch einen Beweis veranschaulichen könnte. Und auch meine Literatur überlässt dem Leser solche Beweise, ohne eine Lösung mit abzudrucken.
Gruß,
Commotus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Commotus!
Noch einmal: Bitte stelle nie mehr wieder die gleiche Frage in verschiedenen Strängen und halte dich bitte an die Anweisungen der Moderatoren (an meine brauchst du dich also nicht zu halten ).
Die Frage ist, was bei b) gemeint ist:
Ist das folgende gemeint:
Für feste [mm] $\vec{x} \in U_1$, $\vec{y} \in U_2$ [/mm] betrachten wir die Menge
[mm] $\{\vec{x} + a \vec{y}\, : \, a \in K\}$,
[/mm]
so handelt es sich um keinen Teilraum, weil die Summe zweier Elemente dieser Gestalt nicht wieder diese Gestalt hat.
Lässt man hingegen mehr Freiheiten bei der Definition und betrachtet die Menge
[mm] $\{\vec{x} + a \vec{y}\, : \, \vec{x} \in U_1, \vec{y} \in U_2, \, a \in K\}$,
[/mm]
so handelt es sich um einen Teilraum.
Bitte den Prof (oder besser, den Assistenten) also die Aufgaben in Zukunft eindeutig und sauber zu stellen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 19.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
diese Unschlüssigkeiten bei der Aufgabenstellung gab es schon öfters. Geändert hat sich bislang jedoch kaum etwas, obwohl er mehrmals darauf hingewiesen wurde.
Stimmen meine Argumentationen zu den einzelnen Aufgabenteilen (s. o.)? Oder hat sich da ein Fehler eingeschlichen? Mein Problem ist, dass ich kein eindeutiges Schema sehe, mit Hilfe dessen ich überprüfen kann, ob es sich um einen Teilraum handelt oder nicht. Die Definition eines Teilraums an sich klingt logisch, doch woher weiß ich genau, wann z.B. die Summe von zwei Vektoren einer Menge wieder in der Menge liegt?!
Gruß,
Commotus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 19.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Commotus!
> diese Unschlüssigkeiten bei der Aufgabenstellung gab es
> schon öfters. Geändert hat sich bislang jedoch kaum etwas,
> obwohl er mehrmals darauf hingewiesen wurde.
Nicht aufgeben!
> Stimmen meine Argumentationen zu den einzelnen
> Aufgabenteilen (s. o.)? Oder hat sich da ein Fehler
> eingeschlichen?
Das ist schwer zu sagen, wenn man nicht weiß, wie genau die Aufgabenstellung zu interpretieren ist. Du solltest aber auf jeden Fall aufpassen, die Beweise "sauber" aufzuschreiben! Die Argumente sind aber richtig.
Nehmen wir z.B. das zweite Beispiel:
[mm] $\vec{x}+a\vec{y}$ [/mm] ist nun mal keine Menge, daher kann auch nie ein Vektor Element von [mm] $\vec{x}+a\vec{y}$ [/mm] sein! Man kann diese Aufgabe, wie bereits gesagt, verschieden interpretieren. Du hast den Beweis gezeigt für die Menge:
[mm] $\{ \vec{x} + a \vec{y} \mid \vec{x} \in U_1, \vec{y} \in U_2, a \in K \}$
[/mm]
Das sind alle Vektoren, die sich als Linearkombination von Elementen aus [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] schreiben lassen. Aber kontrolliere noch einmal deinen Beweis auf formale Fehler (wie ich einen z.B. erwähnt habe).
> Mein Problem ist, dass ich kein eindeutiges
> Schema sehe, mit Hilfe dessen ich überprüfen kann, ob es
> sich um einen Teilraum handelt oder nicht.
Nun ja, dein Schema ist nun mal, zwei Sachen zu zeigen:
1) Die Addition von zwei Elementen des Teilraumes muss wieder ein Element des Teilraumes ergeben.
2) Die skalare Multiplikation muss wieder ein Element des Teilraumes ergeben.
> Die Definition
> eines Teilraums an sich klingt logisch, doch woher weiß ich
> genau, wann z.B. die Summe von zwei Vektoren einer Menge
> wieder in der Menge liegt?!
Dafür mußt du dir die Definition der Menge genau angucken und beweisen, dass das neue Element eben auch dieser Definiton genügt. Z.B. bei deinem ersten Beispiel:
$u$ und $v$ sind Elemente von [mm] $U_1 \cap U_2$, [/mm] d.h. sie sind beide Elemente sowohl von [mm] $U_1$ [/mm] als auch von [mm] $U_2$. [/mm] Und $u+v$?. Du mußt nun zeigen, dass $u+v$ wieder Element von [mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] ist.
Nach Voraussetzung ist $u+v$ sowohl Element von [mm] $U_1$ [/mm] als auch von [mm] $U_2$, [/mm] also auch von [mm] $U_1 \cap U_2$.
[/mm]
Ist das so ein wenig klarer geworden? Ich weiß nämlich nicht, wie man das Vorgehen sonst erklären kann, denn es ist immer abhängig von der Aufgabe!
Viele Grüße
Astrid
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