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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 So 11.11.2007 | | Autor: | eXile |
| Aufgabe | Bestimme, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^\IR[/mm] auch Teilräume sind:
[mm]A=\{f \in \IR^\IR | f \mbox{ stetig} \}[/mm]
[mm]B=\{f \in \IR^\IR | f(0) = 0 \}[/mm]
[mm]C=\{f \in \IR^\IR | f(1) = 1 \}[/mm]
[mm]D=\{f \in \IR^\IR | f \mbox{ beschränkt} \}[/mm]
[mm]E=\{f \in \IR^\IR | f \mbox{ monoton wachsend} \}[/mm]
[mm]F=\{f \in \IR^\IR | f(x+1)=f(x) \mbox{ für alle } x \in \IR \}[/mm]
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Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Oben seht ihr die Aufgabe. Meine erste Frage ist, ob man zunächst einmal für jede Teilmenge alle Körperaxiome nachprüfen muss, oder ob es "Abkürzungen" gibt?
Die zweite Frage ist, in wie fern sich die Kriterien für einen Teilraum ändern, wenn die Funktionen nun stetig, beschränkt oder monoton wachsend sind?
Und die dritte Frage ist, ob ihr ein oder zwei Aufgaben vorrechnen könntet, denn ich steht bei der Aufgabe wirklich auf dem Schlauch ;)
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Hi,
> Bestimme, welche der folgenden Teilmengen von [mm]\IR^\IR[/mm] auch
> Teilräume sind:
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> [mm]A=\{f \in \IR^\IR | f \mbox{ stetig} \}[/mm]
> [mm]B=\{f \in \IR^\IR | f(0) = 0 \}[/mm]
>
> [mm]C=\{f \in \IR^\IR | f(1) = 1 \}[/mm]
> [mm]D=\{f \in \IR^\IR | f \mbox{ beschränkt} \}[/mm]
>
> [mm]E=\{f \in \IR^\IR | f \mbox{ monoton wachsend} \}[/mm]
> [mm]F=\{f \in \IR^\IR | f(x+1)=f(x) \mbox{ für alle } x \in \IR \}[/mm]
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> Hi,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Oben seht ihr die Aufgabe. Meine erste Frage ist, ob man
> zunächst einmal für jede Teilmenge alle Körperaxiome
> nachprüfen muss, oder ob es "Abkürzungen" gibt?
> Die zweite Frage ist, in wie fern sich die Kriterien für
> einen Teilraum ändern, wenn die Funktionen nun stetig,
> beschränkt oder monoton wachsend sind?
> Und die dritte Frage ist, ob ihr ein oder zwei Aufgaben
> vorrechnen könntet, denn ich steht bei der Aufgabe wirklich
> auf dem Schlauch ;)
es geht hier mit sicherheit nicht darum, koerperaxiome nachzurechnen. du sollst denke ich pruefen, ob die genannten mengen lineare teilraeume sind. also abgeschlossenheit bezueglich addition und skalarmultiplikation vorliegt.
beispiel A): sind f und g zwei stetige funktionen, ist dann auch $f+g$ stetig? und [mm] $\lambda [/mm] f$?
und so weiter und so fort...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Klaus |
Ich verstehe, dass nicht könnte vllt jemand, dass ganze mal an einer der Teilaufgaben zeigen?
mfg
Klaus
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Hallo,
WAS verstehst Du nicht?
Weißt Du, was ein Vektorraum ist? Wenn nicht, mußt Du Dich unbedingt schlau machen.
In Deiner Aufgabe geht es um Teilmengen des [mm] \IR^{\IR}, [/mm] des Raumes der Funktionen v. [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Ihr habt in der Vorlesung gezeigt, daß dies ein Vektorraum ist, nehme ich sehr stark an.
Du sollst nun die angebenen Teilmengen dieses Raumes daraufhin untersuchen, ob sie selbst auch Vektorräume sind.
Da es Teilmengen eines Vektorraumes sind, braucht man hier lediglich die Unterraumeigenschaften nachzuweisen.
Es ist jetzt Dein Job, herauszufinden, welche das sind.
Über die Übertragung auf die konkreten Beispiel kann man dann anschließend reden.
Hier findest Du auch einen Thread zum Thema, manches wird sich bei der Lektüre bereits klären.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Klaus |
Also ich weiß, was ein Vektorraum ist und ich weiß auch was ein Untervektorraum , genauso kenne ich auch die Eigenschaften für Unterraumeigenschaften. nämlich:
Sei U die Teilmenge die zu überprüfen ist ob sie eine Teilraum ist von V
(1) 0 [mm] \in [/mm] U
(2) Für x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] U
(3) Für a [mm] \in [/mm] K(hier [mm] \IR) [/mm] und x [mm] \in [/mm] U [mm] \rightarrow [/mm] ac [mm] \in [/mm] U
Ich weiß nur nicht wie ich dass auf die einzelnen Teilaufgaben richtig anwenden soll bzw ansetzten, wie zeige ich z.B bei A = {f [mm] \in \IR^{\IR}| [/mm] stetig }, dass 0 [mm] \in [/mm] A
mfg
Klaus
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> Also ich weiß, was ein Vektorraum ist und ich weiß auch was
> ein Untervektorraum , genauso kenne ich auch die
> Eigenschaften für Unterraumeigenschaften. nämlich:
>
> Sei U die Teilmenge die zu überprüfen ist ob sie eine
> Teilraum ist von V
> (1) 0 [mm]\in[/mm] U
> (2) Für x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\in[/mm] U
> (3) Für a [mm]\in[/mm] K(hier [mm]\IR)[/mm] und x [mm]\in[/mm] U [mm]\rightarrow[/mm] ac [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> U
>
> Ich weiß nur nicht wie ich dass auf die einzelnen
> Teilaufgaben richtig anwenden soll bzw ansetzten, wie zeige
> ich z.B bei A = {f [mm]\in \IR^{\IR}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
stetig }, dass 0 [mm]\in[/mm] A
Hallo,
wenn Du nun für Deine Menge A nachweisen möchtest, daß [mm] "0\in [/mm] A", lohnt es sich erstmal daraüber nachzudenken, was hier mit 0 - ich schreibe lieber "Null" - gemeint ist.
Es geht hier nämlich nicht um die Zahl 0, sondern um das neutrale Element bzgl der Addition in [mm] \IR^{\IR}.
[/mm]
Da die Vektoren, die Elmente des Vektorraumes, hier Funktionen sind, wird auch unser neutrales Element eine Funktion sein.
Welche das ist, habt Ihr längst gelernt, und es überrascht auch nicht sehr:
es ist die Funktion [mm] n:\IR \to \IR, [/mm] def, durch n(x):=0 f.a. [mm] x\in \IR.
[/mm]
Und ob dieses neutrale Element des Oberraumes in Deiner Menge A liegt, gilt es zu prüfen.
Welche Elemente sind in A? Die stetigen Funktionen.
Ist n stetig? Ja.
Also ????
Für (2), die Abgeschlossenheit bzgl +, nimmst Du Dir zwei beiebige Funktionen [mm] f,g\in [/mm] A und zeigst, daß f+g auch in A liegt.
Wie findest Du das heraus? da f,g [mm] \in [/mm] A, sind sie stetig.
Nun mußt Du über die Summe stetiger Funktionen nachdenken. ...
Für die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation mit Skalaren (3) so ähnlich.
Du mußt zeigen, daß für beliebiges [mm] r\in \IR [/mm] und [mm] f\in [/mm] A die Funktion (rf) auch in A liegt.
Ich denke, jetzt ist die Sache soweit geklärt, daß Du die Unterraumeigenschaft für A komplett zeigen kannst, und Dich anschließend sogar an einer weiteren Aufgabe versuchen.
Das für den Anfänger Ungewohnte ist hier, daß die Vektoren Funktionen sind - aber man kann sich daran gewöhnen.
Gruß v. Angela
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