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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Teilraum
Teilraum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Teilraum: Teilraum zeigen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mo 08.11.2010
Autor: Big_Head78

Aufgabe
z.z.: T={(x;y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ; 2x+4y=0 } ist Teilraum von [mm] \IR^2 [/mm]

Meine Lösung:

ich arbeite die drei Bedingungen ab
1. x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] U
2. x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] c*x [mm] \in [/mm] U
3. U [mm] \not= [/mm] {}

also:

1.) seien [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] , [mm] \vektor{c \\ d} \in [/mm] T

z.z.: [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{a+c \\ b+d} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] 2a+3b=0 und 2c+3d=0

dann addiere ich beide Ausdrücke
2a+3b+2c+3d=0+0= 2(a+c)+3(b+d)=0

[mm] \Rightarrow \vektor{a+c \\ b+d } \in [/mm] T


2.) [mm] \vektor{a \\ b} \in [/mm] T
z.z.: c* [mm] \vektor{a \\ b} \in [/mm] T

2a+3b=0
nun multipliziere ich beide Seiten mit c:
c*(2a+3b)=c*0=0=2ca+3cb=2(ca)+3(cb)
[mm] \Rightarrow \vektor{ca \\ cb} \in [/mm] T

3.) [mm] \vektor{0 \\ 0} \in \IR^2 [/mm]
2*0+3*0=0 [mm] \Rightarrow T\not= \emptyset [/mm]

Alles erfüllt, also ist T Teilraum von [mm] \IR^2 [/mm]

Richtig so?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mo 08.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Big_Head78Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

,

> z.z.: T={(x;y) [mm]\in \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

; 2x+4y=0 } ist Teilraum von

> [mm]\IR^2[/mm]
> Meine Lösung:
>
> ich arbeite die drei Bedingungen ab
> 1. x,y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\in[/mm] U
> 2. x [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] c*x [mm]\in[/mm] U
> 3. U [mm]\not=[/mm] {}

[ok]

>
> also:
>
> 1.) seien [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] , [mm]\vektor{c \\ d} \in[/mm] T
>
> z.z.: [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\vektor{c \\ d}[/mm] = [mm]\vektor{a+c \\ b+d}[/mm] [mm] \red{\in T} [/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2a+3b=0 und 2c+3d=0
>
> dann addiere ich beide Ausdrücke
> 2a+3b+2c+3d=0+0= 2(a+c)+3(b+d)=0
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{a+c \\ b+d } \in[/mm] T

[ok]


Gut!

>
>
> 2.) [mm]\vektor{a \\ b} \in[/mm] T
> z.z.: c* [mm]\vektor{a \\ b} \in[/mm] T
>
> 2a+3b=0
> nun multipliziere ich beide Seiten mit c:
> c*(2a+3b)=c*0=0=2ca+3cb=2(ca)+3(cb)
> [mm]\Rightarrow \vektor{ca \\ cb} \in[/mm] T [ok]

>
> 3.) [mm]\vektor{0 \\ 0} \in \IR^2[/mm]

denn:

> 2*0+3*0=0 [mm]\Rightarrow T\not= \emptyset[/mm] [ok]
>
> Alles erfüllt, also ist T Teilraum von [mm]\IR^2[/mm]
>
> Richtig so?

Ja, sehr schön!

Bonusfrage: wie sieht die geometr. Interpretation von T aus?

>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mo 08.11.2010
Autor: Big_Head78

Das ist doch eine gerade, genauer eine Ursprungsgerade.
Das führt mich zu meiner zweiten Aufg.:

z.z.: T={ (x;y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ; 2x+3y=5 } ist kein Teilraum von [mm] \IR^2 [/mm]

Meine Lösung: Annahme T ist ein Teilraum, dann sind die Punkte 1., 2. und 3. Voraussetzung, oder?

also gilt:
seien [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] , [mm] \vektor{c \\ d} \in [/mm] T

[mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{a+c \\ b+d} \in [/mm] T

2a+3b=5
2c+3d=5
beides wieder addieren führt zu:
2(a+c)+3(b+d)=5+5=10 und das ist dann ein Widerspruch, oder?
also [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] , [mm] \vektor{c \\ d} \in [/mm] T aber [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} \not\in [/mm] T
somit ist T kein Teilraum. Richtig?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Bezug
                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Mo 08.11.2010
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Das ist doch eine gerade, genauer eine Ursprungsgerade.
>  Das führt mich zu meiner zweiten Aufg.:
>  
> z.z.: T={ (x;y) [mm]\in \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

; 2x+3y=5 } ist kein Teilraum von

> [mm]\IR^2[/mm]
>  
> Meine Lösung: Annahme T ist ein Teilraum, dann sind die
> Punkte 1., 2. und 3. Voraussetzung, oder?
>  
> also gilt:
>  seien [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] , [mm]\vektor{c \\ d} \in[/mm] T
>  
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\vektor{c \\ d}[/mm] = [mm]\vektor{a+c \\ b+d} \in[/mm]
> T
>  
> 2a+3b=5
>  2c+3d=5
>  beides wieder addieren führt zu:
>  2(a+c)+3(b+d)=5+5=10 und das ist dann ein Widerspruch,
> oder?
>  also [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] , [mm]\vektor{c \\ d} \in[/mm] T aber
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\vektor{c \\ d} \not\in[/mm] T
>  somit ist T kein Teilraum. Richtig?


Ja, aber viel einfacher wäre die Begründung: [mm] \vektor{0 \\ 0} \notin [/mm] T

FRED

>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt  


Bezug
                                
Bezug
Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Mo 08.11.2010
Autor: Big_Head78

Dachte ich mir auch schon, ist ja keine Ursprungsgerade mehr. Aber ich versteh nicht warum nur Ursprungsgeraden einen Teilraum bilden können.

Das ist dann die nächste Aufgabe z.z.: jede Gerade durch den Ursprung bildet einen Teilraum und jede, die nicht durch den Ursprung geht bildet keinen Teilraum.

Bezug
                                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mo 08.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Dachte ich mir auch schon, ist ja keine Ursprungsgerade
> mehr. Aber ich versteh nicht warum nur Ursprungsgeraden
> einen Teilraum bilden können.

Die Bedingung (ich glaube, es war (3) bei dir):

[mm]T\neq\emptyset[/mm] ist äquivalent dazu, dass [mm]\vec{0}\in T[/mm] ist.

Der Nullvektor muss immer in einem Vektorraum sein, ob Unterraum oder nicht.

Und im [mm]\IR^2[/mm] ist das halt der Vektor [mm]\vec{0}=(0,0)[/mm].

Und der liegt halt nur auf Ursprungsgeraden ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mo 08.11.2010
Autor: Big_Head78

Gut, dann ist das klar. Der Nullvektor gehört also zu jedem Vraum.

Dann kann ich doch sagen:

ax+by=c mit c [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*0+b*0=0 [mm] \not= [/mm] c
und somit [mm] \vektor{0 \\ 0} \not\in [/mm] T, also ist T kein Teilraum.

Richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mo 08.11.2010
Autor: fred97


> Gut, dann ist das klar. Der Nullvektor gehört also zu
> jedem Vraum.
>  
> Dann kann ich doch sagen:
>  
> ax+by=c mit c [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] a*0+b*0=0 [mm]\not=[/mm] c
> und somit [mm]\vektor{0 \\ 0} \not\in[/mm] T, also ist T kein
> Teilraum.
>  
> Richtig?

Ja

FRED


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