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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 29.03.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | V = [mm] \IR^4, [/mm] W = [mm] \{(a,b,c,d) | a + b + c - d = 0 \} [/mm]
a) Zeige: W ist ein Teilraum von V
b) Berechne eine Basis [mm] B_1 [/mm] von W
c) Berechne eine ON-Basis [mm] B_2 [/mm] von W
d) Bestimme k so, dass [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] (2,1,k,3)^t \in [/mm] W
e) Berechne die Koordinaten von [mm] \overrightarrow{v} [/mm] bezüglich [mm] B_1 [/mm] und bezüglich [mm] B_2 [/mm] mittels Skalarprodukten |
Hallo!
Ich habe die obige Aufgabe auf einer Musterklausur gefunden - habe sie durchgerechnet - bin aber bei manchen stellen nicht sicher.
ad a)
z.z. (i) [mm] \overrightarrow{0} \in [/mm] W
0+0+0-0 = 0 damit korrekt
(ii) [mm] w_1, w_2 \in [/mm] W => [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 \in [/mm] W
[mm] w_1 [/mm] = (a,b,c,a+b+c)
[mm] w_2 [/mm] = (e,f,g,e+f+g)
(a,b,c,a+b+c) + (e,f,g,e+f+g) = (a+e,b+f,c+g,a+b+c+e+f+g)
a+e+b+f+c+g-(a+b+c+e+f+g) = 0
damit korrekt
(iii)
[mm] w_1 [/mm] , [mm] w_2 \in [/mm] W => [mm] k*w_1 [/mm] + [mm] l*w_2 \in [/mm] W [mm] \forall [/mm] k,l [mm] \in [/mm] K
k*(a,b,c,a+b+c) + l*(e,f,g,e+f+g) = (ka+le,kb+lf,kc+lg,k(a+b+c)+l(e+f+g))
ka + le + kb+ lf + kc + lg - k(a+b+c) - l(e+f+g) DISTRibutivgesetz
k(a+b+c) + l(e+f+g) - k(a+b+c) - l(e+f+g) = 0
damit ist W ein Unterraum von V
ad b)
wie kann ich hieraus eine Basis berechnen?
ich weiß intuitiv dass
(1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1) alle Vektoren bilden kann, die diese Bedingung erfüllen. aber wie kann ich da strukturiert vorgehen?
ad c)
die Anwendung von Gram schmitt ist kein problem, aber ich muss wohl von [mm] B_1 [/mm] ausgehen. und da ich nicht weiß, wie die basis [mm] b_1 [/mm] wirklich aussieht, habe ich hier ein problem
ad d)
einfach in die bedingung einsetzen:
2 + 1 + k - 3 = 0
k = 3 - 2 - 1
k = 0
ad e)
ich habe also meine Basis [mm] b_2 [/mm] mit [mm] \{e_1, e_2, e_3\}
[/mm]
also einfach [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3
[/mm]
berechnen
mit:
v = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] e_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] e_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] e_3
[/mm]
meine fragen sind also: wie komme ich von der angabe auf die basen?
lg
uniklu
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Hiho,
auf die richtigen Sachen geh ich mal nicht ein, dann weisst du, dass sie richtig sind.
Dir fehlt eigentlich nur eine Kleinigkeit:
> wie kann ich hieraus eine Basis berechnen?
> ich weiß intuitiv dass
> (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1) alle Vektoren bilden kann,
> die diese Bedingung erfüllen. aber wie kann ich da
> strukturiert vorgehen?
Als erstes zeigst du, dass sich alle Vektoren von W so darstellen lassen und umgekehrt, dass alle Linearkombinationen von diesen 3 Vektoren in W liegen.
Dann hast du schonmal ein Erzeugendensystem. Was muss für ein Erzeugendensystem gelten, damit es auch eine Basis ist?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 29.03.2009 | | Autor: | uniklu |
Hallo,
ein minimales Erzeudendensystem ist eine Basis. Sprich, die Vektoren in sind linear unabhängig. Im erzeugendensytem können auch L.A. vektoren vorkommen.
ein l.a. vektor ist ein vektor der als linearkombination der anderen vektoren im system dargestellt werden kann.
eigentlich müsste man zeilenumformungen machen, damit man sieht ob es eine nullzeile gibt - also einen l.a. vektor. den gibt es hier aber nicht, damit ist das system minimal und eine basis.
wie zeige ich, dass sich alle vektoren mit dieser basis darstellen lassen?
einfach wieder als linearkombination angeben? ich weiß nicht genau wie du das meinst.
lg
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Hiho,
stell Fragen nächstemal auch als Frage und nicht als Mitteilung, dann sieht man es eher 
> wie zeige ich, dass sich alle vektoren mit dieser basis
> darstellen lassen?
> einfach wieder als linearkombination angeben? ich weiß
> nicht genau wie du das meinst.
Ja genau, du nimmst einen Vektor [mm] (a,b,c,d)^t [/mm] aus W und zeigst, dass es Koeffizienten x,y,z gibt, so dass [mm] (a,b,c,d)^t [/mm] = [mm] x(1,0,0,1)^t [/mm] + [mm] y(0,1,0,1)^t [/mm] + [mm] z(0,0,1,1)^t [/mm] gilt.
Bei deiner Basis hast du nun gerade den Vorteil, dass du x=a, y=b, z=c wählen kannst und es dann gleich dasteht, da hast du es also einfach 
MfG,
Gono.
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