Teilraum des Vektorraumes < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten abend zuzsammen. Ich habe folgendes Problem:
Und zwar soll ich entscheiden, ob es sich bei folgenden beiden Mengen um einen Teilraum des Vektorraumes [mm] \IR^2^,^2 [/mm] handelt.
[mm] T_1={ \vmat{ a & b \\ c & d } \in \IR^2^,^2|a\*b\*c\*d=0 }
[/mm]
[mm] T_2={ \vmat{ a & b \\ c & d } \in \IR^2^,^2|a+b+c+d=0 }
[/mm]
Wie soll ich sowas erkennen? Soll ich für a,b,c,d Zahlen einstzen, die sowohl für die Multiplikation als auch für die Addition gelten?? Wäre wirklich für jede Hilfe dankbar.
Mit freundlichen Grüßen Domenick
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Hallo Domenick,
mach's dir nicht zu kompliziert 
Du musst doch lediglich die 3 Unterraumkriterien überpfüfen:
(1) [mm] $T_i\neq\emptyset$
[/mm]
(2) [mm] $A,B\in T_i\Rightarrow A+B\in T_i$ [/mm] Abgeschlossenheit bzgl +
(3) [mm] $\lambda\in\IR, A\in T_i\Rightarrow \lambda\cdot{}A\in T_i$ [/mm] Abgeschlossenheit bzgl skalarer Multiplikation
jeweil für $i=1,2$
Für [mm] $T_1$ [/mm] kannst du sehr schnell die Abgeschlossenheit bzgl. + widerlegen.
Nimm dir mal 2 Matrizen $A, B$ her, die jeweil genau einen Eintrag = 0 haben und zwar an verschiedenen Stellen, dann....
Für [mm] $T_2$ [/mm] prüfe mal die Kriterien nach...
Ich würde sagen, das ist ein UVR 
LG
schachuzipus
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Naja genau hier hab ich irgendwie schwierigkeiten. Was bedeutet z.B. [mm] T_i\not=0? [/mm] Klar ist, dass es nicht 0 sein darf. Aber was darf nicht Null sein? Mein a,b,c,d?
[mm] A,B\inT_i\RightarrowA+B\inT_i [/mm] ist mir klar. also ich soll mir zwei Matrizen A,B suchen, die aus dem selben Element meines [mm] T_i [/mm] sind. A+B muss ebenfalls aus diesem Element sein. Bedeutet das dann, dass das Ergebnis nicht 0 sein darf?
[mm] \lambda\in\IRA\inT_i\Rightarrow\lambda\*A\inT_i [/mm] ist mir auch klar. Meine Matrix A muss aus dem selben Element meines [mm] T_i [/mm] sein. Und mit meines Skalaren Multiplikation [mm] \in \IR [/mm] ebenfalls [mm] \in T_i [/mm] sein. Aber um welche Elemente handelt es sich hier?
Wenn ich 2 Matrizen addiere, bekomme ich doch nicht das selbe wie in [mm] T_i [/mm] heraus. Selbes denke ich gilt für die Multiplikation mit einem Skalar.
Wie würde das denn aussehen, wenn ich Zahlen einsetze?
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Hallo nochmal,
Es sind doch die MATRIZEN die ELEMENTE von [mm] T_i [/mm] , an deren EINTRÄGE gewisse Bedingungen gestellt werden !!
Da haste was durcheinander gewürfelt !
[mm] $T_i\neq \red{\emptyset}$, [/mm] also es muss mindestens ein Element in [mm] $T_i$ [/mm] geben, also mindestens eine Matrix, deren EINTRÄGE die jeweilige Bedingung erfüllt (Produkt/Summe der Einträge = 0)
Die Bedingungen für $a, b, c, d$ sind doch Bedingungen für die Einträge.
Im ersten Fall muss das Produkt aller Einträge einer Matrix aus [mm] T_1 [/mm] = 0 sein.
Also muss mindestens 1 Eintrag = 0 sein.
Es sind zB die Matrizen [mm] $A=\pmat{0&1\\3&3}, B=\pmat{1&1\\0&1}, C=\pmat{1&1\\1&0}$ [/mm] drin.
Für die Matrizen aus [mm] T_2 [/mm] muss für die Einträge gelten, dass deren SUMME = 0 ist
Also zB [mm] $A=\pmat{1&-1\\0&0}$ [/mm] als einfaches Bsp einer Matrix aus [mm] T_2
[/mm]
Also bastel dir im ersten Bsp zwei möglichst einfache Matrizen aus [mm] T_1, [/mm] deren Einträge, also als Produkt, jeweils 0 ergeben, wobei aber das Produkt der Einträge der Summe der Matrizen bitteschön [mm] \neq [/mm] 0 ist
Damit wäre die Abgeschlossenheit verletzt
Beim zweiten Bsp. nimm dir 2 Matrizen [mm] $A_1=\pmat{a_1&b_1\\c_1&d_1}, A_2\pmat{a_2&b_2\\c_2&d_2}$ [/mm] her mit [mm] $a_1+b_1+c_1+d_1=0=a_2+b_2+c_2+d_2$
[/mm]
Was ist dann mit [mm] $A_1+A_2$
[/mm]
Welche Einträge hat das und wie ist das mit der Summe der Einträge...?
Ähnlich mit der skalaren Muliplikation...
LG
schachuzipus
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Also gut jetz hab ich's. Wenn ich z.B. zwei Matrizen
[mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }\vmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] wähle, erhalte ich [mm] \vmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }. [/mm] Damit habe ich die abgeschlossenhet wiederlegt, da meine Einträge eine null enthalten. Das Produkt der Einträge ist [mm] \not=0.
[/mm]
Wenn ich für [mm] T_2 [/mm] die Matrizen
[mm] \vmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }\vmat{ 2 & -2 \\ -2 & 2 } [/mm] wähle, erhalte ich [mm] \vmat{ 3 & -3 \\ -3 & 3 } [/mm] für addition
und
[mm] \vmat{ 4 & -4 \\ -4 & 4 } [/mm] für multiplikation
Damit habe ich die abgeschlossenheit bewiesen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
habe nicht viel Zeit, daher nur eine Mitteilung: Im ersten Teil Deiner Antwort zu [mm] $T_1$ [/mm] ist sowohl Deine Widerlegung als auch Deine Begründung absolut richtig.
Im zweiten Teil Deiner Antwort ist Dir ein Fehler unterlaufen. Du musst die Abgeschlossenheit allgemein zeigen, und nicht (wie Du es getan hast) für eine ganz bestimmte Matrix. Bestimmte Marizen benutzt man ausschließlich dann und nur dann, wenn man etwas widerlegen möchte, sozusagen als Beispiel, dass etwas nicht gilt. Falls man zeigen möchte, dass etwas gilt, dann muss man allgemein argumentieren, z.B. $a$ hat additives inverses $-a$. Mach Dir nochmal Gedanken, sonst kann Dir vielleicht jemand anderes antworten.
Ciao Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Do 06.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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