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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 So 03.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Zeige, dass [mm]f[/mm] genau dann stetig ist, wenn die Teilmenge [mm]\lbrace (x,f(x)) \mid x \in X \rbrace[/mm], also der Graph von [mm]f[/mm], versehen mit seiner Teilraumtopologie, durch die Projektion von [mm]X \times Y[/mm] auf [mm]X[/mm] homöomorph auf [mm]X[/mm] abgebildet wird. |
Hallo Zusammen.
Ich schreibe mal meine Gedanken hin.. jedoch habe ich bei dieser Aufgabe keinen Erfolg gehabt:
[mm]\Rightarrow:[/mm] [mm]f[/mm] ist stetig. Dann für [mm]X = \bigcup\limits_{i=1}^{n}{A_{i}}[/mm] gilt, [mm]f_{i}:A_{i} \to Y[/mm] stetig [mm]\forall 1 \le i \le n[/mm]
Jetzt habe ich [mm]\forall i: \mathcal{O}_{A_{i}} = \lbrace O_{i} \cap A_{i} \mid O_{i} \in \mathcal{O} \rbrace \subset \mathcal{P}(A)[/mm], wobei [mm]\mathcal{O}[/mm] die Topologie auf [mm]X[/mm] ist. Das ist die Teilraumtopologie für jedes [mm]A_{i}[/mm].
Da [mm]f_{i}:A_{i} \to Y[/mm] stetig ist, findet man für jedes offene [mm]U \subset Y[/mm] ein [mm]O_{i}\cap A_{i} \in \mathcal{O}_{A_{i}}[/mm] für jedes [mm]i[/mm]mit [mm]f^{-1}(U) = O_{i}\cap A_{i}[/mm]
Hilft mir das was? ^^ Und wie soll ich weitermachen bzw. wie soll ich anfangen?
Soviel zu dieser Aufgabe im Moment.. wenn ich diese Richtung hingekriegt habe versuche ich die Gegenrichtung.
Danke im Voraus für eure Hinweise!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 04.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung zwischen topologischen
> Räumen. Zeige, dass [mm]f[/mm] genau dann stetig ist, wenn die
> Teilmenge [mm]\lbrace (x,f(x)) \mid x \in X \rbrace[/mm], also der
> Graph von [mm]f[/mm], versehen mit seiner Teilraumtopologie, durch
> die Projektion von [mm]X \times Y[/mm] auf [mm]X[/mm] homöomorph auf [mm]X[/mm]
> abgebildet wird.
>
> Hallo Zusammen.
>
> Ich schreibe mal meine Gedanken hin.. jedoch habe ich bei
> dieser Aufgabe keinen Erfolg gehabt:
>
> [mm]\Rightarrow:[/mm] [mm]f[/mm] ist stetig. Dann für [mm]X = \bigcup\limits_{i=1}^{n}{A_{i}}[/mm]
> gilt, [mm]f_{i}:A_{i} \to Y[/mm] stetig [mm]\forall 1 \le i \le n[/mm]
> Jetzt
> habe ich [mm]\forall i: \mathcal{O}_{A_{i}} = \lbrace O_{i} \cap A_{i} \mid O_{i} \in \mathcal{O} \rbrace \subset \mathcal{P}(A)[/mm],
> wobei [mm]\mathcal{O}[/mm] die Topologie auf [mm]X[/mm] ist. Das ist die
> Teilraumtopologie für jedes [mm]A_{i}[/mm].
>
> Da [mm]f_{i}:A_{i} \to Y[/mm] stetig ist, findet man für jedes
> offene [mm]U \subset Y[/mm] ein [mm]O_{i}\cap A_{i} \in \mathcal{O}_{A_{i}}[/mm]
> für jedes [mm]i[/mm]mit [mm]f^{-1}(U) = O_{i}\cap A_{i}[/mm]
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> Hilft mir das was? ^^ Und wie soll ich weitermachen bzw.
> wie soll ich anfangen?
>
> Soviel zu dieser Aufgabe im Moment.. wenn ich diese
> Richtung hingekriegt habe versuche ich die Gegenrichtung.
>
> Danke im Voraus für eure Hinweise!
Was Du da treibst ist nicht zu verstehen. Was sind das für Mengen [mm] A_i [/mm] ? Wo kommen die her ? Welche Eig. haben sie ?
Was sind die [mm] f_i [/mm] ?
Ich glaube nicht, dass Dir klar ist, was Du tun mußt.
Sei $G := [mm] \lbrace [/mm] (x,f(x)) [mm] \mid [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \rbrace [/mm] $. G ist Teimenge von $ X [mm] \times [/mm] Y $ und sei mit der Teilraumtopologie versehen, also der Spurtopologie der Produkttopologie.
Weiter sei $p:G [mm] \to [/mm] X$ gegeben durch $p(x,f(x)):=x$
Zeigen sollst Du:
f ist stetig [mm] \gdw [/mm] p ist ein Homöomorphismus.
FRED
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