Teilungsverhältnisse < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 17.04.2007 | | Autor: | JKS1988 |
| Aufgabe | Geg:: Parallelogramm ABCD mit den Seitenmitten U und V (U bei CD und V bei AD)
a) Zeige: Dei Geraden AU und CV schneiden sich auf der Diagonalen BD
b) Wie kann man dieses Ergebnis nutzen, um die Seite AD zu halbieren,wenn nur U gegeben ist? |
Hallo zusammen!
Habe am Freitag meine LK Klausur und bin soweit recht fit. Thema ist u.a. Vektorenrechnung. Zur Einführung haben wir vor ein paar Wochen Aufg wie die genannte gemacht. Bei dieser komme ich gar nicht zurecht. Kann mir jemand helfen?
Eine weitere Übungsaufgabe ist die folgende:
Beweise den folgenden Satz:
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S (Schwerpunkt des Dreiecks). Der Punkt S teilt jede Strecke vom Endpunkt des Dreiecks bis zur gegenüberliegenden Seitenmitte im Verhältnis 1:2.
Weiß hier auch jemand bescheid?
Danke im Vorraus!
p.s.: Das man hier mit Vektoren arbeiten muss ist mir klar. Ich habe auch schon einiges ausprobiert, komme aber einfach nicht weiter.
Gruß
JKS1988
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Di 17.04.2007 | | Autor: | Leia |
Hallo,
ich hab auch am Freitag mein Mathe-Abi. Unter anderem auch zu Vektorrechnung.
Ich will versuchen, dir bei deinem Problem zu helfen:
Ich fange mit der ersten Aufgabe an:
> Geg:: Parallelogramm ABCD mit den Seitenmitten U und V (U
> bei CD und V bei AD)
> a) Zeige: Dei Geraden AU und CV schneiden sich auf der
> Diagonalen BD
Am Besten machst du dir zuerst eine Skizze, in der du alles bezeichnen kannst. Dann ist es besser vorstellbar.
Ich weiß nicht, wie man hier eine Zeichnung reinmacht, aber wenn du deine Zeichnung vor dir hast, kannst du meine Schritte bestimmt mitverfolgen.
Du hast also ein Parallelogramm ABCD (an der unteren Echke rechst angefangen mit A und dann gegen den Urzeigersinn weiter mit BCD)mit den Ounkten U und V.
Jetzt legst du zwei Vektoren fest, mit denen du alles andere beschreiben kannst. Ich habe hierfür [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] als [mm] 2\vec{a} [/mm] deffiniert und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] als [mm] 2\vec{b}. [/mm] Die 2, damit es leichter zu rechnen ist.
Um es dir besser vorstellen zu können, legst du jetzt einen Ursprung irgendwo hin, von dem aus ein Vektor, ich nenne ihn [mm] \vec{p}, [/mm] zum Punkt A zeigt.
Nun brauchst du die Gerade g durch A und U und die Gerade h durch V und C um den Schnittpunkt zu bestimmen:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p}+k\*(\vec{a}+2\vec{b})
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p}+\vec{b}+m\*(2\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
Diese beiden Geraden setzt du gleich, um den Schnittpunkt zu bekommen.
Du erhältst: [mm] \vec{a}(k-2m)+\vec{b}(k-1-m)=0
[/mm]
Da die beiden Vektoren nicht 0 sind, müssen die anderen Teile der Produkte 0 sein, damit die Gleichung stimmt. Du erhältst also die beiden Gleichungen
k-2m=0
k-1-m=0
Diese aufgelöst ergeben: [mm] m=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] k=\bruch{2}{3}
[/mm]
Eingesetzt in die Gerade h bekommst du für den Schnittpunkt S: [mm] \vec{s}=\vec{p}+\vec{b}+\bruch{1}{3}(2\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
Diesen Punkt setzt du mit der Geraden durch B und D gleich, woduch due eine wahre Aussage erhältst. Das bedeutet, dass S auf dieser Geraden liegt.
Zu b) fällt mir jetzt im Moment auch keine Lösung ein un deine 2. Aufgabe geht im Prinzip genauso, wie die erste.
Ich hoffe, ich konnte dir etwas weiterhelfen. Wenn dir was unklar ist, schreib einfach nochmal.
Viele Grüße
Leia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 18.04.2007 | | Autor: | JKS1988 |
Hi!
Erstmal bedanke ich mich für die Hilfe. Habe deine Antwort erst gerade gelesen, konnte die Aufgabe in der Schule schon auf einem ähnlichen Weg lösen. Trotzdem Danke.
Ich tue mich im allgemeinen mit derartigen Aufgaben schwer.Lösungswege kann ich nachvollziehen aber beim eigenen Entdecken dieser habe ich Probleme. Kannst du mir vlt Tipps (Übungsaufgaben wären noch besser :)) zum Thema Teilungsverhältnisse und der Vorgehensweise geben?
Danke für die Hilfe
Gruß
JKS1988
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http://lbsneu.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/pruefung/abitur/pruefaufb/mathematik2004/allggym/geometrie.htm