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| Aufgabe | Im Trapez ABCD mit [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] = [mm] \vec{u} [/mm] , [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vec{v} [/mm] , [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{3u} [/mm] ist M die Mitte von BC und K die Mitte von AM. DK und AB schneiden sich in T.
Zeichne das Trapez für A(2/0) B (11/0) D (0/6)
Berechne DK: KT
[Dateianhang nicht öffentlich] |
hallo ich bins wieder :D
mit einer etwas schwierigeren Aufgabe diesmal.
Ich versuche mal meine Lösungsansätze zu erklären:
Ich habe zuerst den geschlossenen Vektorzug eingezeichnet und zwar so:
[Externes Bild http://img515.imageshack.us/img515/8715/verktorzugkj9.jpg]
[mm] \overrightarrow{DK} [/mm] + [mm] \overrightarrow{KA} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
m * [mm] \overrightarrow{DT} [/mm] + n * [mm] \overrightarrow{MA} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
so. jetzt muss ich die ganzen vektoren ja durch die mir bekannten ersetzen.
mir sind eigentlich alle seiten bekannt, Punkt C kenne ich ja nicht, aber ich kann ja Strecke DC raufinden indem ich die Strecke AB durch drei teile.
3u = 9
u=3
punkt C ist dann (3/6)
m * [mm] \overrightarrow{DT} [/mm] + n * [mm] \overrightarrow{MA} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
jetzt erkläre ich die vektoren durch die bekannten
m * ( [mm] \vec{v} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AT} [/mm] ) + n * ( 3 [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BM} [/mm] ) + [mm] \vec{v} [/mm] = 0
jetzt hab ich da aber wieder AT und BM... wie soll ich die erklären?
is das überhaupt bis dahin richtig?
LG
maike
EDIT von Kroni: Bild angehängt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Im Trapez ABCD mit [mm]\overrightarrow{DC}[/mm] = [mm]\vec{u}[/mm] ,
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\vec{v}[/mm] , [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] =
> [mm]\vec{3u}[/mm] ist M die Mitte von BC und K die Mitte von AM. DK
> und AB schneiden sich in T.
> Zeichne das Trapez für A(2/0) B (11/0) D (0/6)
> Berechne DK: KT
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hallo ich bins wieder :D
> mit einer etwas schwierigeren Aufgabe diesmal.
>
> Ich versuche mal meine Lösungsansätze zu erklären:
>
> Ich habe zuerst den geschlossenen Vektorzug eingezeichnet
> und zwar so:
> [Externes Bild http://img515.imageshack.us/img515/8715/verktorzugkj9.jpg]
>
> [mm]\overrightarrow{DK} + \overrightarrow{KA} +
\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}[/mm]
>
> [mm]m * \overrightarrow{DT} + n * \overrightarrow{MA} + \vec{v} = \overrightarrow{0}[/mm]
>
> so. jetzt muss ich die ganzen vektoren ja durch die mir
> bekannten ersetzen.
> mir sind eigentlich alle seiten bekannt, Punkt C kenne ich
> ja nicht, aber ich kann ja Strecke DC raufinden indem ich
> die Strecke AB durch drei teile.
>
> 3u = 9
> u=3
>
> punkt C ist dann (3/6)
Ich glaube nicht, dass es nötig ist, mit absoluten Koordinaten der Eckpunkte zu rechnen.
>
>
> [mm]m * \overrightarrow{DT}+ n * \overrightarrow{MA} + \vec{v} = \overrightarrow{0}[/mm]
Die Grundidee ist zwar richtig, aber beachte folgendes Problem: Du hast eine "Basis" des Vektorraumes bestehend aus den beiden linear-unabhängigen Vektoren [mm] $\vec{u}=\vec{DC}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}=\vec{AD}$. [/mm] Du darfst daher zwei noch zu bestimmende Skalare einführen, weil Du am Ende ein Gleichungssystem bestehend aus zwei linearen Gleichungen in diesen Skalaren erhalten wirst. $n$ brauchst Du nicht, denn $n$ ist als [mm] $n=\frac{1}{2}$ [/mm] im Aufgabentext gegeben ("K ist die Mitte von MA"). Dafür benötigst Du einen Skalar, sagen wir [mm] $\nu$, [/mm] der Dir erlaubt, die Lage des Punktes $T$ bzw. [mm] $\vec{AT}$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $\vec{AB}$ [/mm] auszudrücken.
> jetzt erkläre ich die vektoren durch die bekannten
> [mm] m * ( \vec{v} + \overrightarrow{AT}) + n * ( 3\vec{u} + \overrightarrow{BM}) + \vec{v} = 0[/mm]
>
> jetzt hab ich da aber wieder AT und BM... wie soll ich die
> erklären?
In Deinem ersten Ansatz hattest Du
[mm]\mu \overrightarrow{DT}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{MA} + \vec{v} = \overrightarrow{0}[/mm]
(Ich habe mir lediglich erlaubt, anstelle von $m$ [mm] $\mu$ [/mm] zu schreiben und $n$ durch den aus dem Aufgabentext bekannten Wert [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] zu setzen.)
Dabei ist [mm] $\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{BA}=\frac{1}{2}(-\vec{u}-\vec{v}+3\vec{u})-3\vec{u}$. [/mm] Damit hast Du [mm] $\vec{MA}$ [/mm] in Deiner Nullsumme durch die Basisvektoren [mm] $\vec{u}, \vec{v}$ [/mm] ausgedrückt.
Bleibt noch [mm] $\vec{DT}$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] auszudrücken. Zu diesem Zweck führen wir nun eben den weiteren (noch zu bestimmenden) Skalar [mm] $\nu$ [/mm] ein: Sei also [mm] $\nu$ [/mm] derjenige Skalar, mit [mm] $\vec{AT}=\nu \vec{AB}=3\nu\vec{u}$. [/mm] Damit erhalten wir [mm] $\vec{DT}=\vec{DA}+\vec{AT}=-\vec{v}+3\nu\vec{u}$. [/mm] Damit kannst Du also die linke Seite Deiner Nullsumme mit [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] alleine ausdrücken.
Bringe nun also die linke Seite der Nullsumme auf die Form [mm] $a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{0}$ [/mm] und schliesse aus der linearen Unabhängigkeit von [mm] $\vec{u}, \vec{v}$, [/mm] dass demnach beide Koeffizienten $a,b$ (in denen [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] auftreten) von [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] gleich $0$ sein müssen. Dies ergibt das gewünschte lineare Gleichungssystem für die beiden unbekannten Skalaren (Teilverhältnisse) [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$.
[/mm]
> EDIT von Kroni: Bild angehängt
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juhu
erstma danke für die genaue antwort:)
hat mich sehr viel weitergebracht :D hab das zwar am ende mit a und b nich gecheckt aber ich hab das jetzt einfach so gemacht wie in der schule, dass ich vektor v und u ausgeklammert habe. das in der klammer habe ich dann gleich 0 gesetzt. (wegen der linearen unab.) bei der einen klammer hatte ich dann m raus und habe es in die andere eingesetzt. aber das n is ja egal, weil ich eh nur m brauche.
da kam für m=3/4 raus und für n=10/9
also is
DK:KT
3 : 1
richtig?
nur irgendwie ist das ergebnis für n komisch...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Habe ich auch erhalten.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
