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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 26.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert:
[mm] b_{n}=\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{v^{3}-1}{v^{3}+2} [/mm] |
Hi,
eigentlich dachte ich, nachdem ich zig solcher Teleskopprodukte gerechnet habe, ich weiß, wie solche Aufgaben zu lösen sind; oder zumindest, wie ich daran gehe. Bis ich auf dieses Teleskopprodukt gestoßen bin.
Was ich hier zuerst machen wollte, war den Bruch aufzuteilen. Aber wie soll das hier gehen. Hoffe, mir kann jemand helfen.
Danke.
MfG
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 30.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Keiner einen Ansatz oder eine Lösung? |
Ist auch eine blöde Aufgabe. Dann will ich mal hoffen, dass so etwas in der nächsten Klausur nicht vorkommt 
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> [mm]b_{n}=\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{v^{3}-1}{v^{3}+2}[/mm]
Lautet es denn wirklich +2 im Nenner und nicht vielleicht +1?
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Fr 30.03.2007 | | Autor: | barsch |
Vielen Dank für die Antwort. Werde mich jetzt noch einmal mit der Aufgabe und deinen Lösungen befassen.
Danke ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:02 Fr 30.03.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Marc
> Falls im Nenner +1 steht, könnte man schreiben:
>
> [mm]\red{\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{v^{3}-1}{v^{3}+1}=\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{(v^2-k+1)(v-1)}{(v^2-k+1)(v+1)}}=\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{v-1}{v+1}[/mm]
>
> und daran sieht man sehr schön, dass es sich wohl um ein
> Teleskopprodukt handelt.
hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Denn natürlich gilt
[mm] $\prod\frac{x^3-1}{x^3+1}=\prod\frac{(x^2+x+1)(x-1)}{(x^2-x+1)(x+1)}$
[/mm]
und man kann nicht kürzen.
Aber die zweite Methode stimmt. Der Grenzwert ist 2/3.
mfG Moudi
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:35 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Moudi!
> > Falls im Nenner +1 steht, könnte man schreiben:
> >
> >
> [mm]\red{\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{v^{3}-1}{v^{3}+1}=\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{(v^2-k+1)(v-1)}{(v^2-k+1)(v+1)}}=\produkt_{v=2}^{\infty}\bruch{v-1}{v+1}[/mm]
> >
> > und daran sieht man sehr schön, dass es sich wohl um ein
> > Teleskopprodukt handelt.
>
> hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Denn
> natürlich gilt
>
> [mm]\prod\frac{x^3-1}{x^3+1}=\prod\frac{(x^2+x+1)(x-1)}{(x^2-x+1)(x+1)}[/mm]
> und man kann nicht kürzen.
Stimmt, vielen Dank für die Korrektur!
Ich wollte wohl unbedingt ein Teleskopprodukt entdecken -- weißt Du, warum es so heißt bzw. wie man es so darstellen kann, dass es eines wird?
> Aber die zweite Methode stimmt. Der Grenzwert ist 2/3.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Fr 30.03.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Zusammen
Die Version [mm] $\prod_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}=\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}$ [/mm] kann
man folgendermassen als Teleskopprodukt sehen, d.h. die meisten Zähle und Nenner kürzen sich weg:
Der Faktor $(k+1)$ im Nenner kürzt sich mit dem Faktor $(k-1)$ im übernächsten Zähler weg. Wegen [mm] $((k+1)^2-(k+1)+1)=(k^2+k+1)$ [/mm] kürzt sich der Faktor [mm] $(k^2+k+1)$ [/mm] im Zähler mit dem nächsten Faktor [mm] $(k^2-k+1)$ [/mm] im Nenner.
D.h. im Produkt [mm] $\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}$ [/mm] kürzen sich alle Zähler und Nenner weg, ausser die Faktoren $(k-1)$ im Zähler für k=2 und k=3, der Faktor [mm] $(k^2+k+1)$ [/mm] für k=n, die Faktoren $(k+1)$ im Nenner für k=n-1 und k=n und der Faktor [mm] $(k^2-k+1)$ [/mm] für k=2.
Daher ergibt sich [mm] $\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}=\frac{1\cdot 2\cdot (n^2+n+1)}{3\cdot n\cdot (n+1)}$ [/mm] mit Limes 2/3.
Bei der ursprünglichen Reihe kürzen sich keine Zähler und Nenner weg. Als numerischen Wert habe ich
als Grenzwert (n=3000) 0.556867...
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Moudi!
> Die Version
> [mm]\prod_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}=\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}[/mm]
> kann
> man folgendermassen als Teleskopprodukt sehen, d.h. die
> meisten Zähle und Nenner kürzen sich weg:
>
> Der Faktor [mm](k+1)[/mm] im Nenner kürzt sich mit dem Faktor [mm](k-1)[/mm]
> im übernächsten Zähler weg. Wegen
> [mm]((k+1)^2-(k+1)+1)=(k^2+k+1)[/mm] kürzt sich der Faktor [mm](k^2+k+1)[/mm]
> im Zähler mit dem nächsten Faktor [mm](k^2-k+1)[/mm] im Nenner.
Ah!
> D.h. im Produkt
> [mm]\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}[/mm] kürzen
> sich alle Zähler und Nenner weg, ausser die Faktoren [mm](k-1)[/mm]
> im Zähler für k=2 und k=3, der Faktor [mm](k^2+k+1)[/mm] für k=n,
> die Faktoren [mm](k+1)[/mm] im Nenner für k=n-1 und k=n und der
> Faktor [mm](k^2-k+1)[/mm] für k=2.
>
> Daher ergibt sich
> [mm]\prod_{k=2}^{n}\frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)}=\frac{1\cdot 2\cdot (n^2+n+1)}{3\cdot n\cdot (n+1)}[/mm]
> mit Limes 2/3.
Alles sonnenklar, vielen Dank für Lösung.
Also geben wir barsch als Tipp mit auf den Weg, bei derartigen Produkten zunächst eine Faktorisierung von Zähler und Nenner zu erreichen, um dann gegebenenfalls bruchübergreifend kürzen zu können.
Auf den "Trick" [mm] $((k+1)^2-(k+1)+1)=(k^2+k+1)$ [/mm] kommt man dann vielleicht selbst, wenn man die Werte von [mm] $k^2+k+1$ [/mm] und [mm] $k^2-k+1$ [/mm] für die ersten paar k ermittelt.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 30.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hilft es dir, wenn du den Term erstmal umformst?
Also die Polynomdivision durchführst:
[mm] (v³-1):(v³+2)=1-\bruch{3}{v³+2}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Fr 30.03.2007 | | Autor: | barsch |
Vielen Dank für deinen Lösungsansatz. Einziges Problem für mich: Wir haben das bis jetzt so gemacht, wenn wir wussten, es handelt sich um ein Teleskopprodukt, haben wir es auf die Form
[mm] \produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{c_{k}}{c_{k+1}})
[/mm]
gebracht. Und die sehe ich nicht, wenn ich es nach deiner Art versuche zu lösen.
Vielen Dank, trotzdem.
Ich werde mich noch mal intensiv mit der Aufgabe befassen und deinen Lösungsansatz auch mal versuchen weiterzuführen.
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 30.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank für deinen Lösungsansatz. Einziges Problem für
> mich: Wir haben das bis jetzt so gemacht, wenn wir wussten,
> es handelt sich um ein Teleskopprodukt, haben wir es auf
> die Form
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{\infty}(\bruch{c_{k}}{c_{k+1}})[/mm]
>
> gebracht. Und die sehe ich nicht, wenn ich es nach deiner
> Art versuche zu lösen.
>
> Vielen Dank, trotzdem.
>
> Ich werde mich noch mal intensiv mit der Aufgabe befassen
> und deinen Lösungsansatz auch mal versuchen
> weiterzuführen.
>
Nicht nötig, ich denke, durch den Tippfehler gibt es eine deutlich elegantere Lösung. Aber manchmal hilft es die Polynomdivision durchzuführen.
Marius
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