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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Tensorprodukt
Tensorprodukt < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tensorprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:50 Mo 12.07.2021
Autor: inkeddude

Hallo. Wir haben am Freitag mit dem Thema "Tensoren" angefangen und ich habe eine Frage zur Definition des Tensorprodukts. Davor erkläre ich folgende Mengen, da diese nicht in jedem Skript auftauchen:

(1) Für eine beliebige natürliche Zahl $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] definieren wir die Menge [mm] $I_{k} [/mm] := [mm] \{1, \ldots, k \}$ [/mm]
(2) Mit [mm] $Vek_{K}$ [/mm] bezeichne ich die Menge aller $K$ - Vektorräume
(3) Mit [mm] $Mult_{K}(\mathbb{V}^{n}, \mathbb{V}) [/mm] := [mm] \{ \varphi: \mathbb{V}^{n} \rightarrow \mathbb{V}\; \vert \; \varphi\; \text{ist multilinear} \}$ [/mm] bezeichne ich die Menge aller multilinearen Abbildungen von [mm] $\mathbb{V}^{n}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{V}$ [/mm]



Tensorprodukt:


Seien

(1) $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] eine natürliche Zahl
(2) [mm] $\mathbb{V}, (\mathbb{V}_{i})_{i \in I_{n}} \in Vek_{K}^{\vert I_{n} \vert}$ [/mm] $K$ - Vektorräume
(3) [mm] $\varphi \in Mult_{K}(\mathbb{V}^{n}, \mathbb{V})$ [/mm] eine multilineare Abbildung

Das Paar [mm] $(\mathbb{V}, \varphi)$ [/mm] heißt Tensorprodukt von [mm] $(\mathbb{V}_{i})_{i \in I_{n}}$, [/mm] falls: [mm] $\forall\; (\mathbb{W}, \psi) \in Vek_{K} \times Mult_{K}(\mathbb{V}^{n}, \mathbb{W})\; \exists! \; f_{\psi} \in Mult_{K}(\mathbb{V}, \mathbb{W})\; [/mm] : [mm] \; f_{\psi} \circ \varphi [/mm] = [mm] \psi$ [/mm]

Die Elemente von $V$ heißen Tensoren.
Die Elemente [mm] $Im(\varphi)$ [/mm] heißen reine Tensoren.


Direkt danach kommt folgender Satz 20. 6:

Seien

(1) $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] eine natürliche Zahl
(2) [mm] $(\mathbb{V}_{i})_{i \in I_{n}}$ [/mm] $K$ - Vektorräume
(3) [mm] $(\mathbb{V}, \varphi)$, $(\mathbb{W}, \psi)$ [/mm] zwei Tensorprodukte von  [mm] $(\mathbb{V}_{i})_{i \in I_{n}}$ [/mm]

Dann gibt es genau einen Isomorphismus [mm] $f_{\psi}: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{W}$ [/mm] mit [mm] $f_{\psi} \circ \varphi [/mm]  = [mm] \psi$ [/mm]


Weiter steht in der Bemerkung:

Da nach Satz 20.6 das Tensorprodukt, so es existiert, bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt ist, schreibt man [mm] $V_{1} \otimes_{K} \ldots \otimes_{K} V_{n}$ [/mm] statt $V$ oder [mm] $V_{1} \otimes \ldots \otimes V_{n}$, [/mm] wenn der Körper $K$ unzweifelhaft ist. Ferner führen wir für die reinen Tensoren die Bezeichnung

[mm] $x_{1} \otimes \ldots \otimes x_{n} [/mm] := [mm] \varphi(x_{1}, \ldots, x_{n})$ [/mm] ein und unterschlagen in der Folge die Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] einfach.  


Diese Bemerkung verstehe ich nicht ganz.

1. Was heißt in diesem Fall, dass das Tensorprodukt bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt ist?

2. Warum schreibt man wegen der Eindeutigkeit [mm] $V_{1} \otimes_{K} \ldots \otimes_{K} V_{n}$ [/mm] statt $V$ ? Wofür steht denn das Symbol [mm] $\otimes$ [/mm] sonst?

        
Bezug
Tensorprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Mo 12.07.2021
Autor: ChopSuey

Hi,

die von dir zitierte Definition erfüllt die sog. universelle Eigenschaft des Tensorproduktes. Die universelle Eigenschaft eines Objektes hilft dabei, in Definitionen auf die tatsächliche Konstruktion der definierenden Abbildung zu verzichten und gewährleistet trotzdem Existenz und Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie).

Das ist eine wesentliche Eigenschaft, die Objekte einer Kategorie (siehe Kategorientheorie) erfüllen können.

Man sagt "das Objekt $A$ (in einer gegebenen Kategorie [mm] $\mathcal{C}$) [/mm] ist eindeutig (bis auf Isomorphie)", wenn für jedes weitere Objekt $B$, das die zugrundeliegenden Eigenschaften erfüllt, stets ein Isomorphismus [mm] $A\cong [/mm] B$ existiert.

Ein dir womöglich bekanntes Beispiel einer universellen Eigenschaft ist der Homomorphiesatz. Wie der Homomorphismus genau definiert wird, spielt dabei später häufig nur eine untergeordnete Rolle, viel entscheidender ist für die allermeisten Anwendungsfälle bloß die Existenz des induzierten Homomorphismus, und diese wird durch die universelle Eigenschaft gewährleistet.

Im Sinne der Kategorientheorie ist die universelle Eigenschaft etwas, das dabei hilft, sog. terminale Objekte (initiale und finale Objekte) zu charakterisieren und diese sind bis aus Isomorphie stets eindeutig bestimmt (sofern sie existieren).

Das Tensorprodukt ist ein initiales Objekt in der Kategorie der Objekte, die deine oben genannten Eigenschaften in der Definition erfüllen. Das bedeutet, dass zu jedem weitern Tensorprodukt [mm] $\mathbb{W}$ [/mm] das aus den [mm] $\mathbb{V}_i$ [/mm] gebildet wird, stets ein Isomorphismus

[mm] $$\mathbb{V} \cong \mathbb{W}$ [/mm] existiert.

Mit anderen Worten: Das Tensorprodukt [mm] $\bigotimes_i^n\mathbb{V}_i$ [/mm] ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt#Definition_durch_universelle_Eigenschaft

Ist ein Objekt einer Kategorie bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, so ist es unwesentlich ob du dein Tensorprodukt [mm] $\bigotimes_i^n\mathbb{V}_i$ [/mm] mit [mm] $\mathbb{V}$ [/mm] oder mit [mm] $\mathbb{W}$ [/mm] bezeichnest. Im Sinne der zugrundeliegenden Kategorie sind die Objekte nicht unterscheidbar.



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