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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | U,V,W seien K-Vektorräume.
U [mm] \otimes [/mm] V mit einer bilinearen Abb
[mm] \psi [/mm] : U x V [mm] \to [/mm] U [mm] \otimes [/mm] V
(u,v) [mm] \mapsto [/mm] u [mm] \otimes [/mm] v
hat die Eigenschaft: Zu jeder bilineare Abb b: U [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] W existiert genau eine bilineare Abb b': U [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] W mit b = [mm] b'\circ \psi [/mm] |
Ich hab jetzt die Eindeutigkeit von W beweisen können, bei der Existenz happerts ein bisschen :(
Sei { [mm] u_{1},\ldots, u_{n} [/mm] } eine Basis in U und { [mm] v_{1},\ldots, v_{n} [/mm] } eine Basis in V.
Eine bilineare Abb b ist eindeutig durch die Bilder [mm] b(u_{i}, v_{j}) [/mm] bestimmt, d.h. zur Definition von b' benötigt man zu jedem Paar (i,j) einen Basisvektor von
U [mm] \otimes [/mm] V : [mm] u_{i} \otimes v_{j}.
[/mm]
Also definiere ich mir U [mm] \otimes [/mm] V als Vektorraum mit der Basis:
{ [mm] u_{i} \otimes v_{j} [/mm] | [mm] i=1,\ldots,n, j=1,\ldots,m [/mm] }
Ich glaub jetzt müsste ich u [mm] \otimes [/mm] v irgendwie definieren, aber ich weiß nicht mehr weiter :(
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Do 23.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Schreibe einfach [mm] $u=\sum_ia_iu_i$ [/mm] und [mm] $v=\sum_jb_jv_j$ [/mm] und setze [mm] $u\otimes v:=\sum_{i,j}a_ib_j\cdot u_i\otimes v_j$. [/mm] Zeige nun, dass diese Definition von [mm] $\otimes$ [/mm] die gewünschten Eigenschaften hat.
Die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts lautet übrigens: Zu jeder bilinearen Abb. [mm]b: U\red{\times}V\to W[/mm] existiert genau eine bilineare lineare Abb. [mm]b': U\otimes V\to W[/mm] mit [mm]b=b'\circ\psi[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:17 Do 23.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
Ich dachte, ich müsste einen Basisvektor von U [mm] \otimes [/mm] V mit [mm] u_{i} \otimes v_{j} [/mm] finden. Ist das dann nicht mit der gewählten Definition
[mm] u\otimes v:=\sum_{i,j}a_ib_j\cdot u_i\otimes v_j [/mm]
dann gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Do 23.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich dachte, ich müsste einen Basisvektor von U [mm]\otimes[/mm] V
> mit [mm]u_{i} \otimes v_{j}[/mm] finden. Ist das dann nicht mit der
> gewählten Definition [mm]u\otimes v:=\sum_{i,j}a_ib_j\cdot u_i\otimes v_j[/mm] dann gemacht?
Also ich versteh überhaupt nicht was du sagen willst. Du wählst einen Vektorraum passender Dimension und nennst die Basiselemente einfach [mm] $e_i\otimes e_j$ [/mm] für i=1,...,dim U und j=1,...,dim V als "formale Symbole". Dann definierst du für die Abbildung [mm] $\otimes:U\times V\to U\otimes [/mm] V$ so wie ich es oben geschrieben habe. Was genau ist jetzt deine Frage?
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:25 Do 23.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
Kann ich den Existenzbeweis nicht so machen:
Sei { [mm] u_{1},\ldots, u_{n} [/mm] } eine Basis in U und { [mm] v_{1},\ldots, v_{n} [/mm] } eine Basis in V.
Ich definiere mir U [mm] \otimes [/mm] V als Vektorraum mit der Basis:
{ [mm] u_{i} \otimes v_{j} [/mm] | [mm] i=1,\ldots,n, j=1,\ldots,m [/mm] }
und u [mm] \otimes [/mm] v := [mm] \summe a_{i}*b_{j}*u_{i} \otimes v_{j} [/mm] mit u = [mm] \summe a_{i}*u_{i} [/mm] und v = [mm] \summe b_{j}*v_{j} [/mm]
[mm] a_{i} [/mm] bzw [mm] b_{j} [/mm] sind die Koordinatenmengen der Vektoren aus U bzw V.
1) [mm] \psi [/mm] er füllt schonmal die universelle Eigenschaft.
2) Für eine lineare Abb. b': U [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] W kommutiert das Diagramm der universellen Eigenschaft genau dann, wenn
[mm] \forall [/mm] (i,j) [mm] \in [/mm] I x J: b'(u [mm] \otimes [/mm] v) = [mm] b(u_{i},v_{j})
[/mm]
Denn die bilinearen Abbildungen b und [mm] b'\circ\psi [/mm] sind gleich, wenn sie auf allen [mm] (u_{i},v_{j}) [/mm] übereinstimmen.
3) Es gibt genau eine lineare Abbildung b' mit b'(u [mm] \otimes [/mm] v) = [mm] b(u_{i},v_{j})
[/mm]
Denn eine lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basis [mm] (u_{i} \otimes v_{j}) [/mm] von U [mm] \otimes [/mm] V.
[mm] \Rightarrow [/mm] Damit ist [mm] \psi: [/mm] U x V [mm] \to [/mm] U [mm] \otimes [/mm] V ein Tensorprodukt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 So 26.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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